2008-大纲卷I文-10 单-直线与圆公共点

本题导读

考查直线与圆位置关系。有公共点 $⟺$ 圆心到直线距离 $⩽1$，即 $\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}⩽1⟺\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}⩾1$，选 D。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 有公共点，则()

A. $a^2+b^2⩽1$　　　B. $a^2+b^2⩾1$　　　C. $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}⩽1$　　　D. $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}⩾1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线化为一般式 $bx+ay-ab=0$。
2. 有公共点 $⟺$ 圆心到直线距离 $d⩽1$。
3. $d=\frac{|ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}$，平方化简。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 即 $bx+ay-ab=0$，圆心 $(0,0)$，半径 $1$. 直线与圆有公共点 $⟺$ 圆心到直线的距离不超过半径： $d=\frac{|ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}⩽1.$ 两边平方：$\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}⩽1$，即 $a^2{b}^2⩽a^2+b^2$. 两边同除以 $a^2{b}^2$（$a,b\ne 0$）： $1⩽\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2},即\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}⩾1.$ 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的位置关系

核心方法：$d=\frac{|ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}⩽1⟺\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}⩾1$

避坑指南：截距式直线先化一般式；有公共点 $⟺d⩽r$；$a^2{b}^2⩽a^2+b^2$ 两边同除 $a^2{b}^2$ 是化成目标形式的关键一步。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“位置关系 + 参数不等式”是直线与圆的综合题，2009 辽宁文第 7 题、2012 安徽文第 9 题同型。

结论推广：$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；相切/相交 $⟺d⩽r$。

方法推广：用距离条件列不等式后，围绕”两边同除”做代数变形；除法要求各量非零（截距式本身要求 $a,b\ne 0$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2010-广东卷文-06 单-直线与圆相切
• 2010-江西卷文-10 单-直线与圆弦长定参
• 2012-安徽卷文-09 单-直线与圆位置关系定参