2008-大纲卷I理-04 单-复数

本题导读

本题考查复数的乘法与平方运算。通过复数化简，将“复数为正实数”的条件转化为实部与虚部的方程与不等式组进行求解。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 设 $a\in \mathbf{R}$，且 $(a+\text{i}{)}^2\text{i}$ 为正实数，则 $a=$ ()

A. 2　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 0　　　　　　　D. -1

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用完全平方公式和复数乘法将 $(a+\text{i}{)}^2\text{i}$ 展开并化简为标准形式 $x+y\text{i}(x,y\in \mathbf{R})$。
2. 根据“正实数”的定义，令虚部为 0 且实部严格大于 0，解出参数 $a$ 的值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

首先对复数进行代数展开： $(a+\text{i}{)}^2\text{i}=(a^2+2a\text{i}+{\text{i}}^2)\text{i}=(a^2-1+2a\text{i})\text{i}$ 继续乘进 $\text{i}$ 得： $(a^2-1)\text{i}+2a{\text{i}}^2=-2a+(a^2-1)\text{i}$ 因为该复数为正实数，所以其虚部等于 0 且实部大于 0： $\{\begin{array}{l}{a}^2-1=0\\ -2a>0\end{array}$ 由 $a^2-1=0$ 得 $a=1$ 或 $a=-1$。 由 $-2a>0$ 得 $a<0$。 综上所述，$a=-1$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的四则运算、实数与正实数的复数定义。
2. 核心方法：实虚部分离法。
3. 避坑指南：容易只关注“实数”条件（虚部为0）得到 $a=\pm 1$ 而在 A 与 D 之间犹豫，务必看清“正”实数这一限制条件，确保实部 $-2a>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中复数分类与基本四则运算的综合练习题。
2. 结论推广：若复数 $(a+b\text{i}{)}^2\text{i}(a,b\in \mathbf{R})$ 为正实数，则参数需满足 $a^2=b^2$ 且 $ab<0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2009-上海卷理-01 填-复数
• 2009-北京卷理-01 单-复数