2008-大纲卷I理-06 单-函数

本题导读

本题考查函数图像关于直线 $y=x$ 对称的几何性质，其本质是考查反函数的求法及函数解析式的自变量平移变换。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 若函数 $y=f(x-1)$ 的图像与函数 $y=\ln \sqrt{x}+1$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则 $f(x)=$ ()

A. ${\text{e}}^{2x-1}$　　　　　B. ${\text{e}}^{2x}$　　　　　C. ${\text{e}}^{2x+1}$　　　　　D. ${\text{e}}^{2x+2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确关于直线 $y=x$ 对称的两个函数互为反函数，即 $y=f(x-1)$ 是 $y=\ln \sqrt{x}+1$ 的反函数。
2. 求出 $y=\ln \sqrt{x}+1$ 的反函数解析式，得到 $f(x-1)$ 的表达式。
3. 利用自变量代换，将 $x-1$ 替换为 $x$，即可求得 $f(x)$ 的解析式。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

令 $y=\ln \sqrt{x}+1=\frac{1}{2}\ln x+1(x>0)$。 反解 $x$ 得： $\frac{1}{2}\ln x=y-1\Rightarrow \ln x=2y-2\Rightarrow x={\text{e}}^{2y-2}$ 对调自变量与因变量，可得其反函数为 $y={\text{e}}^{2x-2}$。 因为 $y=f(x-1)$ 的图像与 $y=\ln \sqrt{x}+1$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称， 所以 $f(x-1)={\text{e}}^{2x-2}$。 用 $x+1$ 代替式中的 $x$ 得： $f(x)={\text{e}}^{2(x+1)-2}={\text{e}}^{2x}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：互为反函数的两个函数图像关于直线 $y=x$ 对称。
2. 核心方法：反函数求法（反解 $x$ 后对调 $x,y$）、整体代换法。
3. 避坑指南：求出反函数后，得到的并不是 $f(x)$ 而是 $f(x-1)$，最后一步必须进行自变量平移，切忌直接将反函数当成最终答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中指数函数与对数函数互为反函数这一基础性质的深化应用。
2. 结论推广：若 $f(x-a)$ 的图像与 $g(x)$ 的图像关于 $y=x$ 对称，则 $f(x)=g^{-1}(x+a)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项