2008-大纲卷I理-10 单-三角函数

本题导读

本题考查点在直线上这一位置关系的代数表达，结合三角恒等式，利用柯西不等式求解系数的最值范围。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 通过点 $M(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，则 ()

A. $a^2+b^2\le 1$　B. $a^2+b^2\ge 1$　C. $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\le 1$　D. $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge 1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将点 $M$ 的坐标代入直线方程，得到关于 $\alpha$ 的三角恒等式。
2. 利用柯西不等式（或辅助角公式）将含有 $\cos \alpha ,\sin \alpha$ 的一次项与 ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ 关联起来，从而消去 $\alpha$ 获得关于 $a,b$ 的不等式。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

将点 $M(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ 代入直线方程 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 得： $\frac{\cos \alpha }{a}+\frac{\sin \alpha }{b}=1$ 根据柯西不等式有： ${\left(\frac{\cos \alpha }{a}+\frac{\sin \alpha }{b}\right)}^2\le \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )$ 将 $\frac{\cos \alpha }{a}+\frac{\sin \alpha }{b}=1$ 和 ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ 代入上式得： $1^2\le \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\cdot 1\Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge 1$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的截距式方程、柯西不等式的代数应用。
2. 核心方法：消元法。利用三角函数的平方和为 1 这一隐含条件，通过不等式放缩消去角参数 $\alpha$。
3. 避坑指南：切忌盲目对未知数 $a,b$ 进行特值代入，若选用特值法需确保所构造的直线确实能与单位圆相交或相切。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中直线与单位圆有公共点（相交或相切）的几何背景，点 $M$ 在单位圆上运动，说明直线到原点的距离 $d\le 1$。
2. 结论推广：由点到直线的距离公式，原点 $(0,0)$ 到直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 即 $bx+ay-ab=0$ 的距离 $d=\frac{|-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}$。因为直线与圆有公共点，所以 $d\le 1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}\le 1\Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge 1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数