2008-大纲卷I理-11 单-线面位置

本题导读

本题考查立体几何中线面角的求解。核心在于找准空间斜线在底面上的射影，利用平面几何性质与向量基本定理求得关键线段的长度和夹角。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 已知三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_1$ 在底面 $ABC$ 内的射影为 $△ABC$ 的中心，则 $A{B}_1$ 与底面 $ABC$ 所成角的正弦值等于 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设棱长为 1，确定底面正 $△ABC$ 中心 $O$ 的几何特征，求出射影高 $A_{1}O$ 的长度。
2. 利用空间向量分析 $A{B}_1$ 的长：将 $\overrightarrow{A{B}_1}$ 拆解为 $\overrightarrow{A{A}_1}+\overrightarrow{AB}$，通过向量数量积求出其模长。
3. 利用平移性质，得到点 $B_1$ 到平面 $ABC$ 的距离等于 $A_1$ 到平面 $ABC$ 的距离（即 $A_{1}O$），通过直角三角形求出线面角的正弦值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设三棱柱的各棱长均为 1。设 $A_1$ 在底面 $ABC$ 内的射影为 $O$，则 $O$ 为正 $△ABC$ 的中心， $A_{1}O\perp$ 平面 $ABC$。 在正 $△ABC$ 中，边长为 1，高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $AO=\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 在直角 $△A_{1}OA$ 中，$A_{1}A=1$，则 $A_{1}O=\sqrt{A_1{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 因为 $A_1{B}_1\parallel AB$，所以 $B_1$ 到平面 $ABC$ 的距离等于 $A_1$ 到平面 $ABC$ 的距离，即 $h=A_{1}O=\sqrt{\frac{2}{3}}$。

下面计算 $A{B}_1$ 的长度。由向量加法得 $\overrightarrow{A{B}_1}=\overrightarrow{A{A}_1}+\overrightarrow{AB}$。 由于 $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{O{A}_1}$，而 $A_{1}O\perp$ 平面 $ABC$，故 $\overrightarrow{O{A}_1}\cdot \overrightarrow{AB}=0$。 在正 $△ABC$ 中，$\overrightarrow{AO}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 的夹角为 $30^{\circ }$， 所以 $\overrightarrow{A{A}_1}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AO}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}\times 1\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$。 由此可得： $|\overrightarrow{A{B}_1}{|}^2=|\overrightarrow{A{A}_1}+\overrightarrow{AB}{|}^2=|\overrightarrow{A{A}_1}{|}^2+|\overrightarrow{AB}{|}^2+2\overrightarrow{A{A}_1}\cdot \overrightarrow{AB}=1+1+2\times \frac{1}{2}=3$ 所以 $A{B}_1=\sqrt{3}$。 设 $A{B}_1$ 与底面 $ABC$ 所成的角为 $\theta$，则其正弦值为： $\sin \theta =\frac{h}{A{B}_1}=\frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面角的定义、射影定理、空间向量数量积运算。
2. 核心方法：基底向量法求空间两点间距离，空间等距离平移法求点面距离。
3. 避坑指南：切忌盲目肉眼判定 $A{B}_1$ 与底面线段的垂直关系，三棱柱倾斜时各侧面并非矩形，必须通过数量积或准确建立空间坐标系进行定量计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自空间几何体中正多面体/正棱锥射影性质与线面角计算的经典题型。
2. 结论推广：若斜三棱柱底面为正三角形，侧棱长与底面边长相等且顶顶点在底面的射影为底面中心，则侧棱与底面所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，前侧对角线长度为 $\sqrt{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2010-安徽卷文-19 解-空间向量线面关系与体积
• 2012-四川卷文-05 单-向量数量积求正弦
• 2014-四川卷理-08 单-线面角的向量求法