2008-大纲卷I理-12 单-排列组合

本题导读

本题考查环形区域的排列组合染色计数问题。解题核心在于抓住环状结构中相对立的两个区域，按照其“同色”与“异色”进行分类讨论，从而打破环状对称性。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 如图，一环形花坛分成 $A、B、C、D$ 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为 ()

A. 96　　　　　　　B. 84　　　　　　　C. 60　　　　　　　D. 48

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析图形的邻接关系：$A$ 与 $B,D$ 相邻；$C$ 与 $B,D$ 相邻；$B$ 与 $A,C$ 相邻；$D$ 与 $A,C$ 相邻。
2. 选择相对的两个区域 $A$ 和 $C$ 作为分类标准，分为“$A$ 与 $C$ 种同一种花”和“$A$ 与 $C$ 种不同种花”两类情况。
3. 分别计算两类情况下的具体种法数，最后由分类加法原理相加得到总数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将问题按照相对区域 $A$ 和 $C$ 是否同色分为以下两类：

第一类：$A$ 与 $C$ 种同一种花。

1. 先选 $A$ 与 $C$ 的花色，从 4 种里选 1 种，有 4 种选法；
2. 此时 $B$ 与 $A,C$ 相邻（且 $A,C$ 同色），$B$ 不能与它们同色，有 3 种选法；
3. 同理，$D$ 与 $A,C$ 相邻，$D$ 有 3 种选法。 根据分步乘法原理，此类种法数为：$4\times 3\times 3=36$ 种。

第二类：$A$ 与 $C$ 种不同种花。

1. 先选 $A$ 的花色，有 4 种选法；
2. 再选 $C$ 的花色，不能与 $A$ 相同，有 3 种选法；
3. 此时 $B$ 与 $A,C$ 均相邻（且 $A,C$ 异色），所以 $B$ 不能与 $A,C$ 同色，有 2 种选法；
4. 同理，$D$ 满足相同约束，有 2 种选法。 根据分步乘法原理，此类种法数为：$4\times 3\times 2\times 2=48$ 种。

综合两类情况，由分类加法原理得不同的种法总数为： $\text{总数}=36+48=84\text{ 种}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：环状四区域染色模型、分类与分步计数原理。
2. 核心方法：相对区域法。通过讨论不相邻的对角区域颜色是否相同来消解环状约束。
3. 避坑指南：极易盲目按照 $A\to B\to C\to D$ 的顺序直接递推产生 $4\times 3\times 2\times 2=48$ 的错误结论，因为在染 $D$ 时，$D$ 不仅要与 $C$ 不同色，还要与 $A$ 不同色，而 $A$ 与 $C$ 的颜色关系不确定会导致 $D$ 的选择数不确定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自图论中关于圈图（Cycle Graph $C_4$）的 chromatic polynomial（着色多项式）计算问题。
2. 结论推广：由图论染色公式，用 $k$ 种颜色为围成一圈的 $n$ 个区域染色（相邻异色），其不同的染色方案数通项公式为： $P_n(k)=(k-1{)}^n+(-1{)}^n(k-1)$ 本题中 $k=4,n=4$，代入公式得 $P_4(4)=(4-1{)}^4+(-1{)}^4(4-1)=3^4+3=81+3=84$ 种。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-07 单-排列组合
• 2009-四川卷理-11 单-排列组合
• 2009-大纲卷II理-10 单-排列组合