2008-大纲卷I理-18 解-二面角

本题导读

本题考查立体几何中的垂直证明以及二面角的计算。第一问利用面面垂直的性质定理找到线面垂直，进而推导线线垂直；第二问利用线面角作为突破口确定空间几何体的未知高度，通过建立空间直角坐标系利用法向量求解二面角。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 四棱锥 $A-BCDE$ 中，底面 $BCDE$ 为矩形，侧面 $ABC\perp$ 底面 $BCDE$，$BC=2,CD=\sqrt{2},AB=AC$.

(1) 证明：$AD\perp CE$；

(2) 设 $CE$ 与平面 $ABE$ 所成的角为 $45^{\circ }$，求二面角 $C-AD-E$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：取 $BC$ 的中点 $O$。由 $AB=AC$ 得 $AO\perp BC$。再利用面面垂直的性质定理证明 $AO\perp$ 平面 $BCDE$。借助底面矩形的坐标系或几何投影法，证明 $OD\perp CE$，从而利用三垂线定理或向量数量积证明 $AD\perp CE$。
2. 第(2)问：以 $O$ 为原点， $OB$、 与 $OB$ 垂直的矩形方向、 $OA$ 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系。设 $AO=h$，利用 $CE$ 与平面 $ABE$ 所成角的正弦值为 $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 建立关于 $h$ 的方程。求出各关键点坐标后，计算平面 $ACD$ 和平面 $ADE$ 的法向量，从而利用夹角公式得出二面角的大小。

✅【答案】

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$38$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 取 $BC$ 的中点 $O$，连接 $AO,OD$。 因为 $AB=AC$，所以 $AO\perp BC$。 又因为侧面 $ABC\perp$ 底面 $BCDE$，平面 $ABC\cap$ 平面 $BCDE=BC$，$AO\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $AO\perp$ 平面 $BCDE$。 因为 $CD\subset$ 平面 $BCDE$，所以 $AO\perp CE$。

在矩形 $BCDE$ 中，由 $BC=2$ 得 $OB=OC=1$，且 $CD=BE=\sqrt{2}$。 以 $O$ 为原点， $OC$ 所在直线为 x 轴，过 $O$ 且平行于 $CD$ 的直线为 y 轴， $OA$ 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 则各点坐标分别为： $O(0,0,0)$， $C(1,0,0)$， $B(-1,0,0)$。 因为 $BCDE$ 为矩形， $CD=\sqrt{2}$， 所以 $D(1,\sqrt{2},0)$， $E(-1,\sqrt{2},0)$。 设 $A(0,0,h)(h>0)$。 由此可得： $\overrightarrow{CE}=(-1-1,\sqrt{2}-0,0-0)=(-2,\sqrt{2},0)$， $\overrightarrow{AD}=(1-0,\sqrt{2}-0,0-h)=(1,\sqrt{2},-h)$。 计算两向量的数量积： $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CE}=1\times (-2)+\sqrt{2}\times \sqrt{2}+(-h)\times 0=-2+2+0=0$ 因为 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CE}=0$，所以 $AD\perp CE$。

(2) 由(1)中坐标系， $\overrightarrow{AB}=(-1,0,-h)$， $\overrightarrow{AE}=(-1,\sqrt{2},-h)$。 设平面 $ABE$ 的法向量为 $\mathbf{n}=(x,y,z)$。 由 $\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ 且 $\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0$ 得： $\{\begin{array}{l}-x-hz=0\\ -x+\sqrt{2}y-hz=0\end{array}$ 由上两式相减得 $\sqrt{2}y=0\Rightarrow y=0$。 令 $z=1$，则 $x=-h$，得平面 $ABE$ 的一个法向量为 $\mathbf{n}=(-h,0,1)$。 因为 $CE$ 与平面 $ABE$ 所成的角为 $45^{\circ }$，所以： $\sin 45^{\circ }=\frac{|\overrightarrow{CE}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{CE}|\cdot |\mathbf{n}|}$ 代入向量坐标计算： $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|(-2)\times (-h)+\sqrt{2}\times 0+0\times 1|}{\sqrt{(-2{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2+0^2}\cdot \sqrt{(-h{)}^2+0^2+1^2}}=\frac{2h}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{h^2+1}}$ 两边平方得： $\frac{2}{4}=\frac{4h^2}{6(h^2+1)}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{2h^2}{3h^2+3}\Rightarrow 3h^2+3=4h^2\Rightarrow h^2=3$ 因为 $h>0$，所以 $h=\sqrt{3}$。 此时各点坐标为 $A(0,0,\sqrt{3})$， $D(1,\sqrt{2},0)$， $\overrightarrow{AD}=(1,\sqrt{2},-\sqrt{3})$。

下面求二面角 $C-AD-E$ 的平面角大小。 设平面 $ACD$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$。 已知 $\overrightarrow{AC}=(1,0,-\sqrt{3})$，由 ${\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{AC}=0$ 且 ${\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{AD}=0$ 得： $\{\begin{array}{l}{x}_1-\sqrt{3}{z}_1=0\\ x_1+\sqrt{2}{y}_1-\sqrt{3}{z}_1=0\end{array}\Rightarrow y_1=0$ 令 $z_1=1$，得 $x_1=\sqrt{3}$，故 ${\mathbf{n}}_1=(\sqrt{3},0,1)$。

设平面 $ADE$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$。 已知 $\overrightarrow{AE}=(-1,\sqrt{2},-\sqrt{3})$，由 ${\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AE}=0$ 且 ${\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AD}=0$ 得： $\{\begin{array}{l}-x_2+\sqrt{2}{y}_2-\sqrt{3}{z}_2=0\\ x_2+\sqrt{2}{y}_2-\sqrt{3}{z}_2=0\end{array}$ 两式相加得 $2\sqrt{2}{y}_2-2\sqrt{3}{z}_2=0\Rightarrow y_2=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}{z}_2$。 两式相减得 $2x_2=0\Rightarrow x_2=0$。 令 $z_2=\sqrt{2}$，则 $y_2=\sqrt{3}$，故 ${\mathbf{n}}_2=(0,\sqrt{3},\sqrt{2})$。

设二面角 $C-AD-E$ 的平面角为 $\theta$。 $\cos \theta =\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1|\cdot |{\mathbf{n}}_2|}=\frac{\sqrt{3}\times 0+0\times \sqrt{3}+1\times \sqrt{2}}{\sqrt{3+0+1}\cdot \sqrt{0+3+2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ 因为由图形可知二面角 $C-AD-E$ 的平面角为钝角， 所以二面角 $C-AD-E$ 的大小为 $\pi -\arccos \frac{\sqrt{10}}{10}$ （或 $\arccos \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的性质定理（面面垂直转化为线面垂直）、线面夹角公式反求高、法向量求二面角。
2. 核心方法：空间直角坐标系法。通过构建 $O-xyz$ 轴，将立体几何问题完全转化为向量的分量坐标运算。
3. 避坑指南：二面角大小的范围在 $[0,\pi ]$。利用法向量求出余弦值后，务必结合空间几何图形的实际开合状态判定其为锐角还是钝角，从而确定正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中关于折叠体、特殊棱锥等面面垂直模型的常规解答题型。
2. 结论推广：对任意侧面与底面垂直的棱锥，均可通过过顶点的垂线将高度参数化，进而借助线面角、线线角等定量条件进行参数解析。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷文-15 填-二面角线面角
• 2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角
• 2010-重庆卷文-20 解-线面垂直二面角