2010-大纲卷II文-05 单-线性规划最值

本题导读

考查线性规划。$z=2x+y$ 在三顶点取 $-3$、$2$、$3$，最大值 $3$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x⩾-1,\\ y⩾x,\\ 3x+2y⩽5,\end{array}$ 则 $z=2x+y$ 的最大值为()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. $x=-1$ 与 $y=x$ 交于 $(-1,-1)$；$x=-1$ 与 $3x+2y=5$ 交于 $(-1,4)$。
2. $y=x$ 与 $3x+2y=5$ 交于 $(1,1)$。
3. $z$ 值依次为 $-3$、$2$、$3$，最大 $3$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

可行域是由三条直线围成的三角形。 联立边界方程得三个顶点： $x=-1$ 与 $y=x$ 交于 $(-1,-1)$； $x=-1$ 与 $3x+2y=5$ 交于 $(-1,4)$； $y=x$ 与 $3x+2y=5$ 交于 $(1,1)$。 目标函数 $z=2x+y$ 在三顶点处的值分别为 $-3$、$2$、$3$， 故最大值为 $3$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性目标函数的最值

核心方法：画可行域、求顶点、代入比较

避坑指南：三条边界两两联立求三个顶点，缺一不可；$z=2x+y$ 系数均为正，最大值在最”右上”的顶点取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性函数在凸多边形可行域上的最值必在顶点处取得。

结论推广：平移直线 $2x+y=z$：$z$ 越大直线越靠右上，几何意义辅助定向。

方法推广：顶点坐标求错则全盘皆错，联立解方程组后回代检验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-新课标卷文-14 填-线性规划