2008-大纲卷II理-08 单-两角和差

本题导读

本题考查三角函数的图像特征与极值。通过将两条动直线交点的距离表示为关于自变量的三角函数式，利用辅助角公式求出其最大值。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 若动直线 $x=a$ 与函数 $f(x)=\sin x$ 和 $g(x)=\cos x$ 的图像分别交于 $M、N$ 两点，则 $|MN|$ 的最大值为 ()

A. 1　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出交点 $M,N$ 的坐标，用参数 $a$ 表示线段长度 $|MN|=|\sin a-\cos a|$。
2. 运用辅助角公式将绝对值内部的式子化为单一的正弦型三角函数。
3. 根据正弦函数的值域性质直接确定其最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由题意，动直线 $x=a$ 与两函数图像的交点分别为 $M(a,\sin a)$ 和 $N(a,\cos a)$。 两点间的距离为： $|MN|=|\sin a-\cos a|$ 利用辅助角公式进行变形： $\sin a-\cos a=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a\right)=\sqrt{2}\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$ 因此： $|MN|=\left|\sqrt{2}\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)\right|=\sqrt{2}\left|\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)\right|$ 因为对于任意实数 $a$，均有 $\left|\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)\right|\le 1$， 所以 $|MN|$ 的最大值为 $\sqrt{2}\times 1=\sqrt{2}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两点间距离公式、辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\varphi )$。
2. 核心方法：一元化三角恒等变换。
3. 避坑指南：线段长度必须带有绝对值号。虽然本题由于求最大值，绝对值最终不影响答案，但在处理范围问题时必须注意绝对值的约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中关于正弦与余弦函数图像相对位移以及差值最值的基本度量问题。
2. 结论推广：函数 $f(x)=A\sin x$ 与 $g(x)=B\cos x$ 的图像被平行于 y 轴的直线所截得的线段长的最大值为 $\sqrt{A^2+B^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数