2008-天津卷文-13 填-球体积与表面积

本题导读

考查球体积与表面积。由体积反解 $R=\sqrt{3}$，代入 $S=4\pi R^2=12\pi$。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 若一个球的体积为 $4\sqrt{3}\pi$，则它的表面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 体积公式 $\frac{4}{3}\pi R^3=4\sqrt{3}\pi$，得 $R^3=3\sqrt{3}=(\sqrt{3}{)}^3$，$R=\sqrt{3}$。
2. 表面积公式 $S=4\pi R^2$。

✅【答案】

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$12\pi$

✍【详细解析】

Abstract

由球的体积公式， $\frac{4}{3}\pi R^3=4\sqrt{3}\pi \Rightarrow R^3=3\sqrt{3}=(\sqrt{3}{)}^3\Rightarrow R=\sqrt{3}.$ 由球的表面积公式， $S=4\pi R^2=4\pi \times 3=12\pi .$ 故答案为 $12\pi$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的体积与表面积

核心方法：$R^3=3\sqrt{3}=(\sqrt{3}{)}^3$，$R=\sqrt{3}$，$S=4\pi R^2=12\pi$

避坑指南：体积反解半径是唯一计算量；把 $3\sqrt{3}$ 凑成完全立方 $(\sqrt{3}{)}^3$ 直接开方；表面积再乘 $4\pi R^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球体积表面积互化是几何体基本量题，2009 上海文第 6 题、2010 辽宁文第 11 题同型。

结论推广：$V=\frac{4}{3}\pi R^3$；$S=4\pi R^2$；$S=\sqrt[3]{36\pi V^2}$（互化公式，可验算）。

方法推广：$3\sqrt{3}$ 开立方时先化成 $(\sqrt{3}{)}^3$ 再取 $\sqrt{3}$；最终带 $\pi$ 作答，别丢 $\pi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比
• 2010-辽宁卷文-11 单-球的表面积
• 2009-大纲卷I文-15 填-球的截面
• 2011-大纲卷文-12 单-球的截面