2010-辽宁卷文-11 单-球的表面积

本题导读

考查球与多面体。$AC=\sqrt{3}$，$SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=2$，$R=1$，$S_{球}=4\pi$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 已知 $S,A,B,C$ 是球 $O$ 表面上的点，$SA\perp$ 平面 $ABC$，$AB\perp BC$，$SA=AB=1$，$BC=\sqrt{2}$，则球 $O$ 的表面积等于()

A. $4\pi$　　　　　　　　B. $3\pi$　　　　　　　　C. $2\pi$　　　　　　　　D. $\pi$

🔍【思路分析】

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1. $AB\perp BC\Rightarrow AC$ 是截面小圆（$△ABC$ 外接圆）的直径。
2. $SA\perp$ 平面 $ABC\Rightarrow \angle SAC=90^{\circ }$，$SC$ 是球的直径。
3. $AC=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$，$SC=\sqrt{1+3}=2$，$R=1$。
4. $S=4\pi R^2=4\pi$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $AB\perp BC$，所以 $△ABC$ 是直角三角形， 其外接圆圆心为 $AC$ 的中点。 又 $SA\perp$ 平面 $ABC$，故 $SA\perp AC$，$\angle SAC=90^{\circ }$， 所以 $SC$ 是球 $O$ 的直径（直角所对的弦为直径）。 计算： $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3},$ $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{1+3}=2,$ 球半径 $R=1$，表面积 $S=4\pi R^2=4\pi .$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球与多面体（直径模型）

核心方法：两个直角条件指出 $SC$ 为球的直径

避坑指南：先求截面三角形的外接圆（$AC$ 为小圆直径），再看大圆；$R=1$ 时表面积是 $4\pi$ 不是 $4\pi R$；$AB\perp BC$ 这个平面内直角是定小圆的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球中”直角对直径”：球面上一点对直径两端张直角，反之亦然。

结论推广：$SA\perp$ 底面的三棱锥可补形为长方体，体对角线即球直径。

方法推广：球的表面积 $4\pi R^2$、体积 $\frac{4}{3}\pi R^3$ 不要混用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积
• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比
• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积
• 2009-大纲卷I文-15 填-球的截面