2008-天津卷理-02 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划、二元一次不等式组与平面区域。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y⩾0\\ x+y⩽1\\ x+2y⩾1\end{array}$，则目标函数 $z=5x+y$ 的最大值为 ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 作出约束条件对应的平面区域（可行域）。
2. 求出可行域的各顶点坐标。
3. 将顶点坐标分别代入目标函数 $z=5x+y$，通过比较大小确定最大值。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，该区域为一个三角形，其三个顶点分别为：

• 由 $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y=1\end{array}$ 解得顶点 $A\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$；
• 由 $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+2y=1\end{array}$ 解得顶点 $B\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$；
• 由 $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x+2y=1\end{array}$ 解得顶点 $C(1,0)$。

将三个顶点坐标分别代入目标函数 $z=5x+y$ 进行评估：

• 当 $x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$ 时，$z=5\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=3$；
• 当 $x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$ 时，$z=5\times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}=2$；
• 当 $x=1,y=0$ 时，$z=5\times 1+0=5$。

比较可知，目标函数 $z$ 的最大值为 5。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面可行域的绘制；线性目标函数在顶点处取得最值的原理。
2. 核心方法：图解平移法或边界顶点联立方程法。
3. 避坑指南：确定三角形可行域时，需准确判定各个不等式对应的半平面方向，避免找错可行域导致联立错误的交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中线性规划初步的应用问题，是标准的常规考查模型。
2. 结论推广：若可行域为凸多边形，线性目标函数 $z=Ax+By$ 的最值必在多边形的顶点（或边界线段）上取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域
• 2009-上海卷理-03 填-不等式
• 2009-北京卷理-10 填-线性规划