2008-天津卷理-07 单-函数

本题导读

本题考查反函数的概念与性质、函数的单调性。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 设函数 $f(x)=\frac{1}{1-\sqrt{x}}(0⩽x<1)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$, 则 ()

A. $f^{-1}(x)$ 在其定义域上是增函数且最大值为 1

B. $f^{-1}(x)$ 在其定义域上是减函数且最小值为 0

C. $f^{-1}(x)$ 在其定义域上是减函数且最大值为 1

D. $f^{-1}(x)$ 在其定义域上是增函数且最小值为 0

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析原函数 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上的单调性，依据反函数与原函数单调性一致的结论，得出 $f^{-1}(x)$ 的单调性。
2. 确定原函数 $f(x)$ 的定义域，其对应反函数 $f^{-1}(x)$ 的值域，从而确定反函数的最大或最小值情况。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

在原函数 $f(x)=\frac{1}{1-\sqrt{x}}$ 中，当 $x$ 在 $[0,1)$ 内增大时： $\sqrt{x}$ 增大 $⟹1-\sqrt{x}$ 减小 $⟹\frac{1}{1-\sqrt{x}}$ 增大。 所以原函数 $f(x)$ 在其定义域 $[0,1)$ 上是增函数。 根据互为反函数的性质，反函数 $f^{-1}(x)$ 在其定义域上也是增函数，排除 B、C。 又反函数 $f^{-1}(x)$ 的值域等于原函数 $f(x)$ 的定义域 $[0,1)$。 由于值域为 $[0,1)$，说明反函数 $f^{-1}(x)$ 的最小值为 0，而没有最大值（只能无限趋近于 1 但取不到 1），排除 A。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：原函数与反函数单调性一致、定义域与值域互换的对称性质。
2. 核心方法：单调性定性分析法，无需实际求出反函数的解析式。
3. 避坑指南：容易混淆区间开闭对最值的影响，由于原函数定义域是 $[0,1)$， 1 处为开区间，因此反函数值域在 1 处也是开的，不可取到最大值 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中反函数一节的基本性质定理，侧重于概念理解与定性逻辑推理。
2. 结论推广：若严格单调连续函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $[A,B)$，则其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的值域必为 $[A,B)$，其最值情况与原函数的定义域端点开闭完全一致。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项