2008-天津卷理-10 单-排列组合

本题导读

本题考查分步计数原理与分类计数原理、排列组合的综合应用。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 有 8 张卡片分别标有数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5，则不同的排法共有 ()

A. 1344 种　　　　B. 1248 种　　　　C. 1056 种　　　　D. 960 种

🔍【思路分析】

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1. 先找出 1 到 8 中两数之和为 5 的组合，共有 (1, 4) 和 (2, 3) 两组。
2. 分步计数：第一步，确定并安放中间行的卡片；第二步，从剩下的 6 张卡片中任选 4 张安放在第一行和第三行，并排除掉第一行或第三行两数之和也为 5 的不合题意情况（因为要求“仅有”中间行）。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

在数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 中，两数之和为 5 的数组只有两对：$(1,4)$ 和 $(2,3)$。

第一步：安排中间行（第二行）。 从这两对中选出一对放在中间行，共有 ${\text{C}}_2^1=2$ 种选法； 选出的两张卡片在中间行可以左右对换位置，有 ${\text{A}}_2^2=2$ 种排法。 所以中间行的排法共有 $2\times 2=4$ 种。

第二步：安排第一行和第三行。 不妨设中间行选用了 $(1,4)$，则还剩下 6 张卡片：$2,3,5,6,7,8$。 注意：剩下的卡片中仍包含一对和为 5 的数组 $(2,3)$。 我们需要从这 6 张卡片中不加限制地选出 4 张排在第一行和第三行的 4 个位置上，总排列数为： ${\text{A}}_6^4=6\times 5\times 4\times 3=360\text{种}$ 由于题目要求“仅有”中间行和为 5，必须排除掉第一行或第三行和为 5 的违法排法（即 $(2,3)$ 恰好被分在同一行）：

• 若 $(2,3)$ 在第一行：有 ${\text{A}}_2^2=2$ 种排法，此时第三行从剩下的 4 张卡片中选 2 张排列，有 ${\text{A}}_4^2=12$ 种排法，共 $2\times 12=24$ 种；
• 若 $(2,3)$ 在第三行：同理，共有 ${\text{A}}_2^2\times {\text{A}}_4^2=24$ 种排法。

所以，第一、三行符合要求的排法共有： $360-24-24=312\text{种}$

同理，若中间行选用 $(2,3)$，第一、三行符合要求的排法同样为 312 种。

综合两步，根据分步计数原理，不同的排法总共有： $4\times 312=1248\text{种}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：排列组合中的“仅有”限制条件；对立面排除法的应用。
2. 核心方法：分步解决，先特值（满足条件的中间行），后一般（处理余下位置）。
3. 避坑指南：容易漏掉题目中“仅有”二字，直接用 $4\times {\text{A}}_6^4=1440$ 导致无答案，或者在排除时没有同时考虑 $(2,3)$ 在第一行和第三行的对称可能性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自人教A版选修2-3中排列组合应用题，重点考查特殊位置与特殊元素的处理原则。
2. 结论推广：在涉及类似矩阵位置且有特定行/列满足特定等式约束的计数题中，先确定目标约束行，再利用全排列减去其余部分引发冲突的排列，是通用的间接解题策略。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-07 单-排列组合
• 2009-四川卷理-11 单-排列组合
• 2009-大纲卷II理-10 单-排列组合