2008-天津卷理-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理、二项展开式的通项公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） ${\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^5$ 的二项展开式中, $x^2$ 的系数是 $\underline{}$. (用数字作答)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 整理通项公式中 $x$ 的指数部分，令其等于 2，求出对应的 $r$ 值。
3. 将 $r$ 值代入系数部分进行数值计算。

✅【答案】

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$40$

✍【详细解析】

Abstract

二项展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_5^r\cdot x^{5-r}\cdot {\left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^r$ $={\text{C}}_5^r\cdot (-2{)}^r\cdot x^{5-r}\cdot x^{-\frac{r}{2}}$ $={\text{C}}_5^r\cdot (-2{)}^r\cdot x^{5-\frac{3r}{2}}$ 令 $5-\frac{3r}{2}=2$，解得 $r=2$。 此时 $x^2$ 的系数为： ${\text{C}}_5^2\cdot (-2{)}^2=10\times 4=40$

故答案为：40。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：二项式展开通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的灵活运用。
2. 核心方法：指数方程法。
3. 避坑指南：注意通项公式中的负号不能遗漏，即第二项应视为 $-2x^{-\frac{1}{2}}$。由于本题中 $r=2$ 是偶数，负号被消去，若遇到奇数次幂则需要保留负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中二项式定理部分的经典基本题型，是历年高考填空题中极具代表性的高分基础题。
2. 结论推广：对于展开式 ${\left(A{x}^m+B{x}^n\right)}^k$，其通项中 $x$ 的指数呈等差数列分布，可以通过求解线性方程快速定位任意项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-06 单-二项式定理
• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
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