2007-大纲卷II理-13 填-二项展开式通项公式常数项

本题导读

本题考查多项式与二项式相乘后的展开式常数项求解。核心在于将乘积式拆分为两组独立渠道，分别寻找后项二项展开式中能够与之拼凑成 $x^0$ 的特定次幂项，最后将各项系数相加。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） $\left(1+2x^2\right){\left(x-\frac{1}{x}\right)}^8$ 的展开式中常数项为________.(用数字作答)

🔍【思路分析】

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1. 写出后项的二项式通项公式：

• ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^8$ 的展开式通项为 $T_{r+1}={\text{C}}_8^r\cdot x^{8-r}\cdot {\left(-x^{-1}\right)}^r={\text{C}}_8^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{8-2r}$。

2. 分流破局（双通道组合）：

• 通道一：前项的 $1$ 与后项展开式中的常数项（即 $x^0$ 项）相乘。 令 $8-2r=0⟹r=4$。
• 通道二：前项的 $2x^2$ 与后项展开式中的 $x^{-2}$ 项相乘，二者相乘才能抵消为常数项。 令 $8-2r=-2⟹2r=10⟹r=5$。

3. 计算各自系数并求和：计算出两通道的代数数值，加总得出最终结果。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：首先，写出二项式 ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^8$ 展开式的标准通项公式： $T_{r+1}={\text{C}}_8^r\cdot x^{8-r}\cdot {\left(-\frac{1}{x}\right)}^r={\text{C}}_8^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{8-2r}(0\le r\le 8,r\in \mathbf{Z})$

整体多项式 $\left(1+2x^2\right){\left(x-\frac{1}{x}\right)}^8$ 的常数项可以通过以下两个互斥的乘法组合通道产生：

• 通道一：前项常数 $1$ 乘以后项展开式中的 $x^0$ 项 令后项自变量指数为 0： $8-2r=0⟹2r=8⟹r=4$ 此时对应的常数分量值为： $C_1=1\times \left[{\text{C}}_8^4\cdot (-1{)}^4\right]=1\times \frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}\times 1=70$

• 通道二：前项单项式 $2x^2$ 乘以后项展开式中的 $x^{-2}$ 项 为了使相乘后的总指数为 0（即 $2+\text{指数}=0$），后项的自变量指数必须为 $-2$： $8-2r=-2⟹2r=10⟹r=5$ 此时对应的常数分量值为： $C_2=2\times \left[{\text{C}}_8^5\cdot (-1{)}^5\right]=2\times \left[{\text{C}}_8^3\cdot (-1)\right]=-2\times \frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=-2\times 50\text{ 不对，是 }56$ 重新细算： ${\text{C}}_8^3=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$。 $C_2=2\times 56\times (-1)=-112$

将上述两个通道产生的常数项数值进行求和汇总： $\text{总常数项}=C_1+C_2=70+(-112)=-42$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开通项公式、多项式乘法的项数配对原则。
2. 核心方法：分流组合法。
3. 避坑指南：

• 计算通道二时，极易看漏两处符号与系数：一是前项自带的系数 $2$ 容易忘乘；二是后项当 $r=5$ 时为奇数， $(-1{)}^5=-1$ 负号必须保留。两处任何一处粗心都会导致最终结果错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理、二项展开式的通项公式与常数项是大纲卷II(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是二项式定理、二项展开式的通项公式与常数项的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用分项相乘组合法、通项公式待定系数法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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