2007-安徽卷理-12 填-二项展开式通项公式

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式及常数项的判定。核心在于写出展开式的通项，将 $x$ 的指数项归拢，令其等于 0 建立关于幂次与总项数的丢番图方程，从而求出最小的正整数 $n$。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 若 ${\left(2x^3+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^n$ 的展开式中含有常数项，则最小的正整数 $n$ 等于________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：写出二项式展开式的标准通项 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r\cdot a^{n-r}\cdot b^r$。

2. 幂次合并归拢：将 $a=2x^3$ 与 $b=x^{-\frac{1}{2}}$ 代入，把自变量 $x$ 的指数提取合并，化为关于 $n,r$ 的一次线性式。

3. 常数项条件约束：令 $x$ 的总指数等于 0，得到 $3n-\frac{7}{2}r=0⟹6n=7r$。由于 $r$ 必须为整数且 $0\le r\le n$，求解最小的正整数 $n$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：根据二项式定理， 二项式 ${\left(2x^3+x^{-\frac{1}{2}}\right)}^n$ 展开式的通用通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_n^r\cdot (2x^3{)}^{n-r}\cdot {\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^r(0\le r\le n,r\in \mathbf{Z})$

将常数系数与自变量 $x$ 的底数指数部分独立分离并合并： $T_{r+1}={\text{C}}_n^r\cdot 2^{n-r}\cdot x^{3(n-r)}\cdot x^{-\frac{1}{2}r}$ $T_{r+1}={\text{C}}_n^r\cdot 2^{n-r}\cdot x^{3n-3r-\frac{1}{2}r}={\text{C}}_n^r\cdot 2^{n-r}\cdot x^{3n-\frac{7}{2}r}$

若展开式中含有常数项， 意味着存在某个合法的项，其自变量 $x$ 的总幂次严格等于 0。 建立关于 $n$ 与 $r$ 的代数方程： $3n-\frac{7}{2}r=0⟹6n=7r⟹n=\frac{7}{6}r$

由于二项式定理中， 选取的项数项比 $r$ 必须严格为整数（ $r\in \mathbf{Z}$）， 且题目要求 $n$ 为最小的正整数。 由 $6n=7r$ 且 $\gcd (6,7)=1$ 知， $n$ 必须是 7 的正整数倍。 为了让 $n$ 取得最小正整数值， 另其倍数取 1 即可： 当 $r=6$ 时， 解得最小的 $n$ 值为： $n=7$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式通项中根式向分数指数幂的转换、常数项即指数为 0 的代数方程判定。
2. 核心方法：通项待定系数法。
3. 避坑指南：

• 提取 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的指数时一定要细心，应转化为 $x^{-\frac{1}{2}}$。若粗心漏掉负号或看错分数，会导致后续的不定方程无整数解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理、二项展开式的通项公式是安徽卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是二项式定理、二项展开式的通项公式的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用通项分析法、不定方程整数解法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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