2008-安徽卷文-11 单-线性规划扫过面积

本题导读

本题求动直线 $x+y=a$（$a$ 从 $-2$ 到 $1$）扫过区域 $A$ 的面积：用三角形 $A$ 的面积减去 $x+y>1$ 的小三角形面积。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 若 $A$ 为不等式组 $\{\begin{array}{l}x⩽0,\\ y⩾0,\\ y-x⩽2\end{array}$ 表示的平面区域，则当 $a$ 从 $-2$ 连续变化到 $1$ 时，动直线 $x+y=a$ 扫过 $A$ 中的那部分区域的面积为()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{7}{4}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 区域 $A$ 是顶点为 $(0,0)$，$(0,2)$，$(-2,0)$ 的三角形，面积 $2$。
2. $x+y$ 在 $A$ 上的取值范围是 $[-2,2]$；扫过部分是 $A$ 中 $x+y⩽1$ 的部分。
3. 用整个三角形面积减去 $x+y>1$ 的小三角形面积。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

不等式组表示的区域 $A$ 是三角形，顶点为 $(0,0)$，$(0,2)$，$(-2,0)$，面积 $S=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。 在 $A$ 内，$x+y$ 的最小值在 $(-2,0)$ 处取得，为 $-2$；最大值在 $(0,2)$ 处取得，为 $2$。 当 $a$ 从 $-2$ 变到 $1$ 时，动直线 $x+y=a$ 扫过 $A$ 中满足 $-2⩽x+y⩽1$ 的部分。 直线 $x+y=1$ 与 $A$ 的边界交于 $(0,1)$ 与 $y-x=2$ 上的点 $\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$。 未扫到的是 $x+y>1$ 的小三角形，顶点为 $(0,1)$，$(0,2)$，$\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$， 其面积 $s=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。 所以扫过区域的面积为 $2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：动直线扫过的区域面积

核心方法：用大三角形面积减去未扫到的小三角形

避坑指南：$x+y$ 在区域上的最值在顶点处取得；割补时先画准 $x+y=1$ 与边界的交点 $\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 安徽文第 3 题、2009 福建文第 9 题同为线性规划面积题。

结论推广：动直线扫过区域可用整体减局部（割补法）。

方法推广：先求 $x+y$ 在区域上的取值范围，再算未覆盖的小三角形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-03 单-线性规划区域面积
• 2009-福建卷文-09 单-线性规划区域面积
• 2010-浙江卷文-07 单-线性规划最值
• 2011-安徽卷文-06 单-线性规划最值