2011-安徽卷文-06 单-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x+y⩽1,\\ x-y⩽1,\\ x⩾0,\end{array}$ 则 $x+2y$ 的最大值和最小值分别为 ()

A. $1$，$-1$　　　　　B. $2$，$-2$　　　　　C. $1$，$-2$　　　　　D. $2$，$-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：画可行域三顶点 $(0,0)$
2. 步骤2：$(1,0)$
3. 步骤3：$(0,1)$
4. 步骤4：$(0,-1)$

✅【答案】

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B最大值 $2$，最小值 $-2$

✍【详细解析】

Abstract

三条边界：$x+y=1$，$x-y=1$，$x=0$。

两斜线交点 $(0,1)$；$x+y=1$ 与 $x=0$ 的交点即 $(0,1)$；$x-y=1$ 与 $x=0$ 的交点 $(0,-1)$；$x+y=1$ 与 $x-y=1$ 的交点 $(1,0)$。

可行域是以 $(0,1)$，$(1,0)$，$(0,-1)$ 为顶点的三角形（含边界）。

令 $z=x+2y$：$z(0,1)=2$，$z(1,0)=1$，$z(0,-1)=-2$。

最大值 $2$，最小值 $-2$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：可行域顶点的求法；线性目标函数在最值点（顶点）处取得

核心方法：画出可行域并求全部顶点，把 $z=x+2y$ 逐一代入顶点比较

避坑指南：$x⩾0$ 这条约束使可行域在右半平面，最小值点 $(0,-1)$ 恰在边界 $x=0$ 上——漏画 $x=0$ 会把最小值算成 $-1$（误选 D）；最大值点 $(0,1)$ 是两条斜线与 $y$ 轴的共同交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划题与 2011-大纲卷文-04、2011-天津卷文-02、2011-浙江卷文-03 同族。

结论推广：推广：线性目标函数 $z=ax+by$ 的最值只在可行域顶点处取得（区域有界时）；$z$ 的几何意义是直线族 $ax+by=z$ 的截距，平移直线观察最先/最后触及的顶点与逐点代入等价。

方法推广：线性规划小题固定三步：画域 $\to$ 求顶点 $\to$ 顶点代入比较；区域无界时还要检查最值是否存在。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划
• 2011-天津卷文-02 单-线性规划最值
• 2011-浙江卷文-03 单-线性规划最值