2008-安徽卷理-09 单-对数

本题导读

本题考查对数函数与指数函数互为反函数的图象关系，以及函数关于坐标轴对称的解析式变换规律。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 在同一平面直角坐标系中，函数 $y=g(x)$ 的图象与 $y={\mathrm{e}}^x$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称.而函数 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称.若 $f(m)=-1$，则 $m$ 的值是 ()

A. $-\mathrm{e}$　　　　　　　B. $-\frac{1}{\mathrm{e}}$　　　　　　　C. $\mathrm{e}$　　　　　　　D. $\frac{1}{\mathrm{e}}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据关于直线 $y=x$ 对称求出 $g(x)$ 的解析式。
2. 根据关于 $y$ 轴对称求出 $f(x)$ 的解析式。
3. 由 $f(m)=-1$ 建立方程，解出 $m$ 的值。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $y=g(x)$ 的图象与 $y={\mathrm{e}}^x$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称， 所以 $g(x)$ 是 $y={\mathrm{e}}^x$ 的反函数，即 $g(x)=\ln x$。 又因为函数 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称， 所以 $f(x)=g(-x)=\ln (-x)$（其中 $x<0$）。 由 $f(m)=-1$，得 $\ln (-m)=-1$， 解得 $-m={\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}$，即 $m=-\frac{1}{\mathrm{e}}$。 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的概念（指数与对数互换），函数图象的对称变换规律（关于 $y$ 轴对称则 $x$ 变为 $-x$）。
2. 核心方法：直接通过解析式变换求解。
3. 避坑指南：注意对数函数的定义域，在 $f(x)=\ln (-x)$ 中，必须满足 $-x>0$ 即 $x<0$，因此最终求得的 $m$ 必为负数，可据此排除C、D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由教材中指数函数与对数函数互为反函数的几何意义以及函数图象对称变换性质综合改编而来。
2. 结论推广: 若函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 关于 $y=x$ 对称，且 $y=g(x)$ 与 $y=h(x)$ 关于 $y$ 轴对称，则 $h(x)=f^{-1}(-x)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称
• 2009-天津卷文-09 单-指数对数互化最值
• 2009-江苏卷-10 填-指数函数单调性