2009-天津卷文-09 单-指数对数互化最值

本题导读

压轴选择。$a^x=b^y=3$ 取对数：$\frac{1}{x}=\frac{\ln a}{\ln 3}$，故 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\ln (ab)}{\ln 3}$；$ab⩽{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=3$，最大值 $1$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 设 $x$，$y\in \mathbf{R}$，$a>1$，$b>1$.若 $a^x=b^y=3$，$a+b=2\sqrt{3}$，则 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ 的最大值为 ()

A. $2$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^x=3\Rightarrow x\ln a=\ln 3\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{\ln a}{\ln 3}$；同理 $\frac{1}{y}=\frac{\ln b}{\ln 3}$。
2. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\ln a+\ln b}{\ln 3}=\frac{\ln (ab)}{\ln 3}$。
3. $ab⩽{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=3$（$a=b=\sqrt{3}>1$ 时取等），故最大值 $\frac{\ln 3}{\ln 3}=1$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $a^x=3$（$a>1$，故 $x>0$）两边取自然对数：$x\ln a=\ln 3$，即 $\frac{1}{x}=\frac{\ln a}{\ln 3}$；同理 $\frac{1}{y}=\frac{\ln b}{\ln 3}$。 于是 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\ln a+\ln b}{\ln 3}=\frac{\ln (ab)}{\ln 3}.$ 由基本不等式，$ab⩽{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$，当且仅当 $a=b=\sqrt{3}$ 时取等号（此时 $a>1$，$b>1$ 满足题设）。 故 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}⩽\frac{\ln 3}{\ln 3}=1$，最大值为 $1$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数与对数的互化、基本不等式

核心方法：取对数转化 + 均值不等式

避坑指南：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\ln (ab)}{\ln 3}$ 是全题枢纽；$ab⩽3$ 取等要求 $a=b=\sqrt{3}$，别忘验证 $a$，$b>1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数对数互化与均值不等式的综合是压轴选择。

结论推广：$a^x=3\Rightarrow x\ln a=\ln 3$；$\ln a+\ln b=\ln (ab)$。

方法推广：$a+b$ 定值时 $ab$ 用均值不等式封顶，取等条件必须回到题设约束检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-15 填-指数方程最值
• 2012-上海卷文-06 填-指数方程与换元法
• 2013-上海卷文-08 填-指数方程