2008-安徽卷理-11 单-函数

本题导读

本题考查利用函数的奇偶性构造方程组求解函数解析式，并结合指数函数的单调性比较函数值的大小。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 若函数 $f(x),g(x)$ 分别是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数、偶函数，且满足 $f(x)-g(x)={\mathrm{e}}^x$，则有 ()

A. $f(2)<f(3)<g(0)$　　　　　　　　　B. $g(0)<f(3)<f(2)$

C. $f(2)<g(0)<f(3)$　　　　　　　　　D. $g(0)<f(2)<f(3)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用 $f(x)$ 为奇函数、$g(x)$ 为偶函数，将已知方程中的 $x$ 替换为 $-x$ 得到辅助方程。
2. 联立两个方程解出 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的解析式。
3. 计算 $g(0)$ 并利用 $f(x)$ 的单调性比较 $f(2),f(3),g(0)$ 的大小。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是偶函数，所以 $f(-x)=-f(x)$，$g(-x)=g(x)$。 已知：$f(x)-g(x)={\mathrm{e}}^x$ ① 以 $-x$ 代替 $x$ 得：$f(-x)-g(-x)={\mathrm{e}}^{-x}⟹-f(x)-g(x)={\mathrm{e}}^{-x}$ ② 由 ① - ② 得：$2f(x)={\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}⟹f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$。 由 ① + ② 得：$-2g(x)={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}⟹g(x)=-\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$。 计算得 $g(0)=-\frac{1+1}{2}=-1$。 因为 $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增， 且 $f(2)=\frac{{\mathrm{e}}^2-{\mathrm{e}}^{-2}}{2}>0$，$f(3)=\frac{{\mathrm{e}}^3-{\mathrm{e}}^{-3}}{2}>f(2)$。 所以 $g(0)<f(2)<f(3)$。 故选 (D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性的定义与应用，双曲正弦与双曲余弦函数的原型。
2. 核心方法：利用 $-x$ 代替 $x$ 构造方程组是解决此类抽象函数/奇偶函数交织问题的经典方法。
3. 避坑指南：在比较大小时，注意指数的符号，$g(0)$ 为负数，而 $f(2),f(3)$ 为正数，优先通过正负号划分界限可简化运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题具有高等数学背景， $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$ 为双曲正弦函数 $\sinh x$（奇函数），$g(x)=-\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$ 为负的双曲余弦函数 $-\cosh x$（偶函数）。
2. 结论推广: 任何定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $\varphi (x)$ 都可以唯一地表示为一个奇函数和一个偶函数的和（或差）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项