2008-安徽卷理-14 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列通项公式与前 $n$ 项和的关系，以及含有指数式数列极限的求法，属于基础综合题。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_n=4n-\frac{5}{2}$，$a_1+a_2+\cdots +a_n=a{n}^2+bn,n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，其中 $a,b$ 为常数，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n}$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $a_n$ 的一次函数形式判定 $\{a_n\}$ 为等差数列，求出首项 $a_1$ 和公差 $d$。
2. 利用等差数列求和公式确定 $S_n$，通过对应系数相等求出常数 $a$ 和 $b$。
3. 将 $a,b$ 代入极限式，分子分母同除以底数绝对值较大项的幂次即可求出极限。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_n=4n-\frac{5}{2}$ 可知 $\{a_n\}$ 是首项 $a_1=\frac{3}{2}$，公差 $d=4$ 的等差数列。 其前 $n$ 项和为： $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n\left(\frac{3}{2}+4n-\frac{5}{2}\right)}{2}=2n^2-\frac{1}{2}n$ 对照 $S_n=a{n}^2+bn$，可得 $a=2,b=-\frac{1}{2}$。 欲求极限式可变形为： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2^n-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n}{2^n+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1-{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n}{1+{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n}$ 因为 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n=0$，所以原式 $=\frac{1-0}{1+0}=1$。 答案：1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列和的特征（不含常数项的二次函数），${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0(|q|<1)$ 的性质。
2. 核心方法：系数不变量对齐，底数大者主导无穷大极限趋势。
3. 避坑指南：注意 $b=-\frac{1}{2}$ 的负号，在求极限时要将其看作整体进行比值转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自课本中等差数列前 $n$ 项和性质与基本初等函数极限的交汇试题。
2. 结论推广: 对于 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n}$，若 $|a|>|b|$，则极限值为 1；若 $|a|<|b|$，则当 $n$ 为偶数和奇数时需讨论（或若 $b>0$ 则为 $-1$）。

🔗【关联脉络】

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• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-12 填-等差数列
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和