2008-安徽卷理-17 解-三角恒等

本题导读

本题考查两角和与差的余弦公式、二倍角公式以及辅助角公式的综合运用，并通过整体代换法求解正弦型函数的性质与闭区间上的值域，属于三角函数的经典综合解答题。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 已知函数 $f(x)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期和图象的对称轴方程；

(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的值域.

🔍【思路分析】

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1. 利用积化和差公式（或两角和差公式展开）化简后半部分，再利用两角和的余弦公式展开前半部分，合并同类项后使用辅助角公式将 $f(x)$ 化为 $A\sin (\omega x+\phi )$ 的形式。
2. 依据正弦型函数的周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 求周期，利用整体相位等于 $k\pi +\frac{\pi }{2}$ 求解对称轴方程。
3. 由 $x$ 的取值范围推导整体相位的取值范围，结合正弦函数的图象特征确定其最大值与最小值，从而求出值域。

✅【答案】

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由积化和差公式，2sin(𝑥−π4)sin(𝑥+π4)=cos(−π

✍【详细解析】

Abstract

解： 先化简函数 $f(x)$ 的解析式： 因为 $2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left[\left(x-\frac{\pi }{4}\right)-\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right]-\cos \left[\left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right]$ $=\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)-\cos 2x=-\cos 2x$。 又 $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos 2x\cos \frac{\pi }{3}+\sin 2x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$。 所以 $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。

(1) 函数 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。 令 $2x-\frac{\pi }{6}=k\pi +\frac{\pi }{2}$（$k\in \mathbb{Z}$）， 解得 $2x=k\pi +\frac{2\pi }{3}⟹x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{3}$（$k\in \mathbb{Z}$）。 所以函数 $f(x)$ 图象的对称轴方程为 $x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{3}$（$k\in \mathbb{Z}$）。

(2) 因为 $x\in \left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}\right]$， 所以 $2x\in \left[-\frac{\pi }{6},\pi \right]$， 从而 $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$。 当 $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值 $1$； 当 $2x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}$ 时，$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最小值 $\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。 故函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的值域为 $\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},1\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变形（两角和差、二倍角及辅助角公式），正弦型函数的图象性质（周期、对称轴、值域）。
2. 核心方法：采用“整体代换”思想，把 $2x-\frac{\pi }{6}$ 视为一个整体 $u$，从而将复杂区间性质转化为基本正弦函数 $y=\sin u$ 的图象性质来分析。
3. 避坑指南：

• 化简时容易混淆 $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的展开符号，注意余弦和角公式中是“幂高号反”。
• 求闭区间值域时，切忌盲目将区间的两个端点直接代入作为最大值和最小值。由于 $\frac{\pi }{2}\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$，必须包含波峰值 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由人教A版必修4中“两角和与差的三角函数”与“三角函数的图象与性质”两个章节的课后综合练习题合并改编而来。
2. 结论推广: 一般地，关于函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$，当 $x\in [a,b]$ 时，应先求出复合角 $\omega x+\phi$ 的范围 $[\omega a+\phi ,\omega b+\phi ]$，再对照正弦曲线在该段区间上的单调性与极值点求解值域。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数