2008-安徽卷理-19 解-二项分布

本题导读

本题考查离散型随机变量的二项分布模型。通过已知的数学期望和标准差列出方程组，求解试验次数 $n$ 和成功概率 $p$，并在此基础上写出分布列和计算特定事件的发生概率。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了 $n$ 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 $p$，设 $\xi$ 为成活沙柳的株数，数学期望 $E\xi =3$，标准差 $\sigma \xi$ 为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

(1) 求 $n,p$ 的值，并写出 $\xi$ 的分布列；

(2) 若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：由题意可知随机变量 $\xi$ 服从二项分布 $\xi \sim B(n,p)$。利用二项分布的期望公式 $E\xi =np$ 和方差公式 $D\xi =np(1-p)=(\sigma \xi {)}^2$ 联立方程组，求出 $n$ 和 $p$，进而写出 $\xi$ 取各个可能值时的概率，列出分布列。
2. 第(2)问：将“3株或3株以上未成活”转化为成活株数 $\xi$ 满足的关系式，即 $\xi \le n-3$，结合分布列中对应的概率分类相加即可。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 由题意知，各株沙柳成活与否是相互独立的，故 $\xi \sim B(n,p)$。 则数学期望 $E\xi =np=3$。 方差 $D\xi =(\sigma \xi {)}^2={\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2=\frac{3}{2}$。 又因为 $D\xi =np(1-p)$， 所以 $3(1-p)=\frac{3}{2}⟹1-p=\frac{1}{2}⟹p=\frac{1}{2}$。 代入 $np=3$ 得 $n\times \frac{1}{2}=3⟹n=6$。

随机变量 $\xi$ 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6。 其对应的概率为 $P(\xi =k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{k}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{k}\right)}{64}$（$k=0,1,2,3,4,5,6$）。 分别计算得： $P(\xi =0)=\frac{1}{64}$， $P(\xi =1)=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$， $P(\xi =2)=\frac{15}{64}$， $P(\xi =3)=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}$， $P(\xi =4)=\frac{15}{64}$， $P(\xi =5)=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$， $P(\xi =6)=\frac{1}{64}$。

所以 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3	4	5	6
$P$	$\frac{1}{64}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{3}{32}$	$\frac{1}{64}$

(2) 设“需要补种沙柳”为事件 $A$。 有 3 株或 3 株以上未成活，即成活株数 $\xi \le 6-3=3$。 所以 $P(A)=P(\xi \le 3)=P(\xi =0)+P(\xi =1)+P(\xi =2)+P(\xi =3)$ $=\frac{1}{64}+\frac{6}{64}+\frac{15}{64}+\frac{20}{64}=\frac{42}{64}=\frac{21}{32}$。 故需要补种沙柳的概率为 $\frac{21}{32}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布的特征模型判断；期望与方差公式的代数推导；离散型随机变量分布列的规范书写。
2. 核心方法：

• 对方程 $np(1-p)=\frac{3}{2}$ 求解时，直接整体代入 $np=3$ 可实现秒杀。
• 第(2)问由于 $p=\frac{1}{2}$，概率分布具有对称性，亦可用 $\frac{1+P(\xi =3)}{2}=\frac{1+\frac{20}{64}}{2}=\frac{21}{32}$ 快速求解。

3. 避坑指南：

• 注意标准差 $\sigma \xi$ 与方差 $D\xi$ 的平方转换关系，切勿将标准差直接代入方差公式。
• 分布列必须列表呈现，且所有概率之和必须等于 1，用以检验计算是否正确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于概率统计中应用题的必考经典题型，背景源自现实生态防护林的种植成活统计，直接对应课本独立重复试验与二项分布的核心章节。
2. 结论推广: 对于服从 $B(n,p)$ 的二项分布，当 $p=\frac{1}{2}$ 时，其概率质量函数关于 $\frac{n}{2}$ 完美对称。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-上海卷理-17 单-方差
• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率