2008-安徽卷理-20 解-导数

本题导读

本题主要考查导数在研究函数单调性中的应用，以及利用参数分离法解决因变量不等式恒成立问题，考查转化与化归思想及运算求解能力。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 设函数 $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$（$x>0$ 且 $x\ne 1$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 已知 $2^{\frac{1}{x}}>x^a$ 对任意 $x\in (0,1)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：求出 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$，通过判定导数的符号分别得到函数的单调递增区间和单调递减区间。
2. 第(2)问：两边均为正数，可同时取自然对数化简不等式。利用 $x\in (0,1)$ 时 $\ln x<0$ 的性质进行参数分离，将问题转化为求对应函数最大值的问题，结合第(1)问的单调性结论求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 对函数 $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ 求导得： $f^{\prime }(x)=-\frac{(x\ln x{)}^{\prime }}{(x\ln x{)}^2}=-\frac{\ln x+1}{(x\ln x{)}^2}$ 因为 $x>0$ 且 $x\ne 1$，所以 $(x\ln x{)}^2>0$。 令 $f^{\prime }(x)>0$，得 $\ln x+1<0⟹\ln x<-1⟹0<x<\frac{1}{\mathrm{e}}$； 令 $f^{\prime }(x)<0$，得 $\ln x+1>0⟹\ln x>-1⟹x>\frac{1}{\mathrm{e}}$ 且 $x\ne 1$。 故函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(0,\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$； 单调递减区间为 $\left(\frac{1}{\mathrm{e}},1\right)$ 和 $(1,+\infty )$。

(2) 因为 $x\in (0,1)$，所以 $2^{\frac{1}{x}}>0$，$x^a>0$。 两边同取自然对数得： $\ln \left(2^{\frac{1}{x}}\right)>\ln (x^a)⟹\frac{1}{x}\ln 2>a\ln x$ 因为 $x\in (0,1)$ 时 $\ln x<0$，两边同除以 $\ln x$ 需改变不等号方向，得： $a>\frac{\ln 2}{x\ln x}$ 即 $a>\ln 2\cdot f(x)$ 对任意 $x\in (0,1)$ 恒成立。 由(1)可知，当 $x\in (0,1)$ 时，$f(x)$ 在 $\left(0,\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\frac{1}{\mathrm{e}},1\right)$ 上单调递减。 所以 $f(x)$ 在 $x=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 处取得最大值， $f(x{)}_{\max }=f\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=\frac{1}{\frac{1}{\mathrm{e}}\ln \left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)}=-\mathrm{e}$ 因此，若 $a>\ln 2\cdot f(x)$ 恒成立，必有 $a>-\mathrm{e}\ln 2$。 故实数 $a$ 的取值范围为 $(-\mathrm{e}\ln 2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数正负与单调性的对应关系；取对数法化简幂指不等式；参数分离求最值。
2. 核心方法：

• 面对 $A^x>B^y$ 型的指数不等式，双侧取对数是转化为代数多项式/分式的主要手段。
• 恒成立问题常用“参变分离法”转化为 $a>g(x{)}_{\max }$ 形式。

3. 避坑指南：

• 第(1)问中，减区间包含不连续点 $x=1$，书写时必须用“和”或“，”隔开，绝不能写成 $\left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty \right)$ 或用并集符号 $\cup$ 连接。
• 第(2)问不等式两端除以 $\ln x$ 时，切记 $x\in (0,1)$ 时 $\ln x$ 为负数，不等号必须变向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查的函数 $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ 演变自高数中的经典渐近线分析模型，也是高考试卷中极值点偏移、参数构造等压轴题的常客。
2. 结论推广: 对于不等式 $M^{g(x)}>[g(x){]}^a$ 类型的结构，往往都可以通过两边取对数后利用形如 $\frac{1}{t\ln t}$ 的函数单调性进行极限或最值判别。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式