2008-山东卷文-12 单-对数图象定参数关系

本题导读

图象递增 $\Rightarrow a>1$；图象与 $y$ 轴交点在 $-1$ 与 $0$ 之间 $\Rightarrow -1<{\log }_a(b-1)<0\Rightarrow a^{-1}<b-1<1$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)={\log }_a(2x+b-1)$（$a>0$，$a\ne 1$）的图象如图所示，则 $a$，$b$ 满足的关系是()

🔍【思路分析】

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增函数 $\Rightarrow a>1$，$0<a^{-1}<1$；$f(0)={\log }_a(b-1)\in (-1,0)$，故 $a^{-1}<b-1<1$，即 $0<a^{-1}<b-1<1$.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由图象自左向右上升知 $f(x)$ 单调递增，故 $a>1$，$0<a^{-1}<1$. 图象与 $y$ 轴的交点位于 $-1$ 刻度与原点之间，即 $-1<f(0)={\log }_a(b-1)<0$. 由 ${\log }_a(b-1)>-1$ 得 $b-1>a^{-1}$；由 ${\log }_a(b-1)<0$ 得 $0<b-1<1$. 综上 $0<a^{-1}<b-1<1$. 【裁定】原卷选项 A 印作 $0<a^{-1}<b<1$，但 $b<1$ 时 ${\log }_a(b-1)$ 无意义，与图象矛盾；按图象与官方答案 A，选项 A 应为 $0<a^{-1}<b-1<1$（原卷排印丢 $-1$），故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型函数图象与参数范围

核心方法：单调性定底数范围，图象与 $y$ 轴交点位置列对数不等式

避坑指南：$$\begin{gathered} f(0)= \\ lo{g}_a(b-1) \end{gathered}$$，真数是 $b-1$ 不是 $b$；交点在 $-1$ 与 $0$ 之间给出 $a^{-1}<b-1<1$，与选项 $b<1$ 的排印差异需按图象裁定

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数型函数图象定参是数形结合经典题（2009 北京文 4、2010 山东文 11）

结论推广：推广到 ${\log }_a(kx+m)$ 的定点、定域分析

方法推广：单调性定底数、交点定真数不等式，两条件交集即答案

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷文-02 单-对数函数图象
• 2009-北京卷文-04 单-对数图象平移
• 2010-山东卷文-11 单-指数与二次函数图象
• 2010-新课标卷文-12 单-分段对数函数