2008-山东卷文-15 填-对数换底与求和

本题导读

$f(t)=4{\log }_{3}t\cdot {\log }_{2}3+233=4{\log }_{2}t+233$，故 $f(2^k)=4k+233$，求和 $4\times 36+233\times 8=2008$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 已知 $f(3^x)=4x{\log }_{2}3+233$，则 $f(2)+f(4)+f(8)+\cdots +f(2^8)$ 的值等于　　　.

🔍【思路分析】

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换底：${\log }_{3}t\cdot {\log }_{2}3={\log }_{2}t$；${\sum }_{k=1}^8(4k+233)=4\cdot \frac{8\times 9}{2}+233\times 8=144+1864=2008$.

✅【答案】

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$2008$

✍【详细解析】

Abstract

设 $t=3^x$，则 $x={\log }_{3}t$，$f(t)=4{\log }_{3}t\cdot {\log }_{2}3+233$. 由换底公式 ${\log }_{3}t\cdot {\log }_{2}3={\log }_{2}t$，故 $f(t)=4{\log }_{2}t+233$. $f(2^k)=4k+233$（$k=1,2,\cdots ,8$），$\sum _{k=1}^{8}f(2^k)=4\times \frac{8\times 9}{2}+233\times 8=144+1864=2008$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数换底公式与求和

核心方法：${\log }_{3}t\cdot {\log }_{2}3={\log }_{2}t$ 换底化简，$f(2^k)$ 变等差数列求和

避坑指南：换底公式方向别记反：$$\begin{gathered} lo{g}_{a}b \\ cdot \\ lo{g}_{b}c= \\ lo{g}_{a}c \end{gathered}$$；求和 $$\begin{gathered} 4 \\ times \\ frac8 \\ times92=144 \end{gathered}$$ 别漏乘 $4$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：换底公式+数列求和的复合小题（2012 安徽文 3、2010 辽宁文 10）

结论推广：推广到 $f(k^x)$ 型解析式还原与等比求和

方法推广：${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c$ 链式化简一步到位

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-03 单-对数换底求值
• 2010-辽宁卷文-10 单-指对互化换底
• 2009-湖南卷文-01 单-对数求值
• 2013-陕西卷文-03 单-对数换底恒等