2012-安徽卷文-03 单-对数换底求值

本题导读

本题考查对数的换底公式，以及对数运算性质。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） $lo g_{2} 9 \cdot lo g_{3} 4 =$ ()

A. $\frac{1}{4}$ 　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$ 　　　　　　　C. $2$ 　　　　　　　D. $4$

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$lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3$ ， $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2$ ，乘积 $= 4 lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 4$ ，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$lo g_{2} 9 = lo g_{2} 3^{2} = 2 lo g_{2} 3$ ， $lo g_{3} 4 = lo g_{3} 2^{2} = 2 lo g_{3} 2$ 。

由换底公式 $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = 1$ ，

故原式 $= 2 \times 2 \times 1 = 4$ 。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：换底公式 $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ ；幂的对数 $lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} b$

核心方法：先把幂指数提出，再凑互为倒数的两个对数相乘

避坑指南：底数与真数别看混： $lo g_{2} 9$ 的底是 $2$ 、 $lo g_{3} 4$ 的底是 $3$ ，换底后恰为 $lo g_{2} 3$ 与 $lo g_{3} 2$ 互倒；若按 $lo g_{2} 9 \approx 3.17$ 、 $lo g_{3} 4 \approx 1.26$ 估算也能锁定 $4$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数换底求值题，与 2013 年陕西卷文第 3 题、2014 年四川卷文第 7 题同族。

结论推广： $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ （ $a, b > 0$ 且 $\neq = 1$ ）；一般地 $lo g_{a} m^{p} \cdot lo g_{b} n^{q}$ 型先提指数再找互倒对。

方法推广：对数求值三板斧：提幂指数 → 换底统一 → 互倒相消。

🔗【关联脉络】

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04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

2013-陕西卷文-03 单-对数换底恒等

2014-四川卷文-07 单-对数换底

2012-北京卷文-12 填-对数运算性质

∑ ( Math )

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2012-安徽卷文-03 单-对数换底求值

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