2009-山东卷文-21 解-导数极值与恒成立

本题导读

考查二次导函数。极值条件 $b^2>a$；$f^{\prime }⩾0$ 在 $(0,1]$ 恒成立按顶点分三类，得 $b⩾-\frac{a+1}{2}$（$0<a<1$）或 $b⩾\sqrt{a}$ 的对称下界 $b⩾-\sqrt{a}$（$a⩾1$）。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}a{x}^3+b{x}^2+x+3$，其中 $a\ne 0$.

(1)当 $a$，$b$ 满足什么条件时，$f(x)$ 取得极值？

(2)已知 $a>0$，且 $f(x)$ 在区间 $(0,1]$ 上单调递增，试用 $a$ 表示出 $b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1) $f^{\prime }(x)=a{x}^2+2bx+1$，取得极值须两个不等实根且两侧变号：$\Delta =4(b^2-a)>0$，即 $b^2>a$。
2. (2) 记 $g(x)=f^{\prime }(x)=a{x}^2+2bx+1$，需 $g(x)⩾0$ 对 $x\in (0,1]$ 成立，$g(0)=1>0$。
3. 按 $g$ 的顶点 $x_0=-\frac{b}{a}$ 位置分类： $x_0⩽0$（$b⩾0$）：$g$ 在 $(0,1]$ 递增，恒成立； $0<x_0⩽1$（$-a⩽b<0$）：最小值 $g(x_0)=1-\frac{b^2}{a}⩾0$，即 $|b|⩽\sqrt{a}$； $x_0>1$（$b<-a$）：$g$ 在 $(0,1]$ 递减，需 $g(1)=a+2b+1⩾0$，即 $b⩾-\frac{a+1}{2}$。
4. 合并：$0<a<1$ 时 $\frac{a+1}{2}>\sqrt{a}$，第三类限制更紧，故 $b⩾-\frac{a+1}{2}$；$a⩾1$ 时 $-\frac{a+1}{2}⩽-a$，第三类无解，由第二类得 $b⩾-\sqrt{a}$。

✅【答案】

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(1) $b^2>a$；(2)$0<a<1$ 时 $b⩾-\frac{a+1}{2}$；$a⩾1$ 时 $b⩾-\sqrt{a}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=a{x}^2+2bx+1$。 $f(x)$ 取得极值，须 $f^{\prime }(x)=0$ 有两个不相等的实根，且 $f^{\prime }$ 在两根两侧符号相反。 判别式 $\Delta =(2b{)}^2-4a=4(b^2-a)$，当 $b^2-a>0$ 即 $b^2>a$ 时，$f^{\prime }$ 有两个不等实根且在两根之间、之外符号不同，$f(x)$ 取得极大值与极小值； 当 $b^2⩽a$ 时，$f^{\prime }$ 无两个不等实根，符号不发生改变，$f(x)$ 不取得极值。 故所求条件为 $b^2>a$。 （2）记 $g(x)=f^{\prime }(x)=a{x}^2+2bx+1$，$f(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递增等价于 $g(x)⩾0$ 对 $0<x⩽1$ 成立。 $g(0)=1>0$，开口向上，按顶点横坐标 $x_0=-\frac{b}{a}$ 分类： ① $x_0⩽0$（即 $b⩾0$）：$g$ 在 $(0,1]$ 上递增，$g(x)>g(0)=1>0$，恒成立； ② $0<x_0⩽1$（即 $-a⩽b<0$）：最小值 $g(x_0)=1-\frac{b^2}{a}⩾0$，即 $b^2⩽a$，$|b|⩽\sqrt{a}$。当 $0<a<1$ 时 $-a>-\sqrt{a}$，条件自动满足；当 $a⩾1$ 时需 $b⩾-\sqrt{a}$； ③ $x_0>1$（即 $b<-a$）：$g$ 在 $(0,1]$ 上递减，需 $g(1)=a+2b+1⩾0$，即 $b⩾-\frac{a+1}{2}$。 合并②③：当 $0<a<1$ 时，$-\frac{a+1}{2}<-a<-\sqrt{a}$，限制最紧的是 $b⩾-\frac{a+1}{2}$； 当 $a⩾1$ 时，$-\frac{a+1}{2}⩽-a$，此时③中 $b<-a⩽-\frac{a+1}{2}$ 与 $b⩾-\frac{a+1}{2}$ 矛盾，③无解，故 $b⩾-\sqrt{a}$。 综上，所求范围为：$0<a<1$ 时 $b⩾-\frac{a+1}{2}$；$a⩾1$ 时 $b⩾-\sqrt{a}$。（等号成立时 $f^{\prime }$ 至多在一点为零，不影响单调递增。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与极值、恒成立

核心方法：二次导函数的判别式定极值；按顶点位置三类讨论定 $b$ 范围

避坑指南：极值条件 $b^2>a$；$g(x)=a{x}^2+2bx+1⩾0$（$0<x⩽1$）按 $-\frac{b}{a}$ 与区间的关系分类，$0<a<1$ 与 $a⩾1$ 的最紧约束不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“取得极值”要求导函数变号，$\Delta >0$ 之外还要开口与根的位置配合，本题开口 $a\ne 0$ 时自动满足。

结论推广：$g(0)=1>0$ 是分类讨论的底气：左端无需检验。

方法推广：两类约束的强弱随 $\sqrt{a}$ 与 $\frac{a+1}{2}$ 的大小在 $a=1$ 处切换，这一步必须比较，不能跳。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2009-安徽卷文-21 解-导数单调与值域