2008-山东卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查共轭复数的概念及其复数的代数化简。核心在于通过构建复数的实部与虚部方程组求出未知复数，再利用分母实数化完成最终复数商的求解。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 设 $z$ 的共轭复数是 $\bar{z}$，若 $z+\bar{z}=4$，$z\cdot \bar{z}=8$，则 $\frac{\bar{z}}{z}$ 等于 ()

A. $\mathrm{i}$　　　　　　　B. $-\mathrm{i}$　　　　　　　C. $\pm 1$　　　　　　　D. $\pm \mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. 设复数的代数形式 $z=x+y\mathrm{i}$ ($x,y\in \mathbf{R}$)，写出共轭复数 $\bar{z}=x-y\mathrm{i}$。
2. 代入已知条件建立关于 $x,y$ 的方程组，求出复数 $z$ 的具体代数式。
3. 进行分式化简 $\frac{\bar{z}}{z}$，利用分母实数化得出最终选项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=x+y\mathrm{i}$ ($x,y\in \mathbf{R}$)，则 $\bar{z}=x-y\mathrm{i}$。 由 $z+\bar{z}=4$ 得：$2x=4⟹x=2$。 由 $z\cdot \bar{z}=8$ 得：$x^2+y^2=8$， 将 $x=2$ 代入得：$4+y^2=8⟹y^2=4⟹y=\pm 2$。 所以 $z=2\pm 2\mathrm{i}$。

• 若 $z=2+2\mathrm{i}$，则 $\bar{z}=2-2\mathrm{i}$， $\frac{\bar{z}}{z}=\frac{2-2\mathrm{i}}{2+2\mathrm{i}}=\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(1-\mathrm{i}{)}^2}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{-2\mathrm{i}}{2}=-\mathrm{i}$
• 若 $z=2-2\mathrm{i}$，则 $\bar{z}=2+2\mathrm{i}$， $\frac{\bar{z}}{z}=\frac{2+2\mathrm{i}}{2-2\mathrm{i}}=\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i}{)}^2}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{2\mathrm{i}}{2}=\mathrm{i}$ 综上所述，$\frac{\bar{z}}{z}=\pm \mathrm{i}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的标准代数特征表达式，$z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$ 的几何意义。
2. 核心方法：代数设元法。
3. 避坑指南：由 $y^2=4$ 求解时切勿漏掉负根，复数在没有明确说明时虚部符号具有对称双值性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于一元二次方程虚根成对原理。由条件可知 $z,\bar{z}$ 是实系数一元二次方程 $t^2-4t+8=0$ 的两个复数根。
2. 结论推广: 若复数满足 $z+\bar{z}=2x$，$z\cdot \bar{z}=2x^2$，则必有 $z=x\pm x\mathrm{i}$，此时其共轭复数与原复数的商 $\frac{\bar{z}}{z}=\pm \mathrm{i}$ 恒成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2009-上海卷理-01 填-复数
• 2009-北京卷理-01 单-复数