2008-山东卷理-03 单-函数

本题导读

本题考查初等函数图象的识别。通过分析复合函数的定义域、奇偶性、特殊点和单调性，逐项排除错误选项，考查数形结合及逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 函数 $y=\ln \cos x$ $\left(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\right)$ 的图象是 ()

🔍【思路分析】

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1. 分析奇偶性：判断 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系，确定图象是否具备轴对称或中心对称特征。
2. 确定特殊点：代入 $x=0$ 点算函数值，明确图象与坐标轴的交点位置。
3. 探究单调性：利用复合函数“同增异减”原则判定在各象限的走向特征。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=\ln \cos x$。

• 首先考查奇偶性：其定义域为 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，关于原点对称。 因为 $f(-x)=\ln \cos (-x)=\ln \cos x=f(x)$， 所以 $f(x)$ 为偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称，排除具有奇函数特征或非对称特征的选项（对应原卷排除 B, D）。
• 其次考查特殊点：当 $x=0$ 时， $y=\ln \cos 0=\ln 1=0$， 所以图象必过原点 $(0,0)$。
• 最后考查值域与单调性：由于当 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 时， $0<\cos x\le 1$， 根据对数函数性质， $\ln \cos x\le 0$。即整个图象落在 $x$ 轴下方（含原点）。 当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时，内层函数 $u=\cos x$ 单调递减，外层 $y=\ln u$ 单调递增， 根据复合函数单调性复合原则， $f(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递减。 结合各选项， A 选项图形完美契合上述特征。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数的轴对称图象特征，复合函数单调性的判定原则。
2. 核心方法：性质排除法（通常按照“定义域 $\to$ 奇偶性 $\to$ 特殊点 $\to$ 单调性/变化趋势”的序列进行筛选）。
3. 避坑指南：切勿盲目求导。识别基础函数图象时，利用性质往往比强行求导更安全、更快速。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由对数函数与三角函数复合而成的典型基础题，旨在打破单一初等函数的图象定势，强化多维度审视函数波形的能力。
2. 结论推广: 对于形如 $y=\ln [g(x)]$ 的函数，若 $g(x)$ 为偶函数且 $0<g(x)\le 1$，则该函数必为偶函数，图象最高点在原点或其上方，且在 $g(x)$ 递减的区间内整体表现为单调递减。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项