2008-山东卷理-14 填-导数

本题导读

本题考查初等函数的定积分点算。核心考查意图是利用微积分基本定理求出多项式函数的定积分，进而建立关于未知量 $x_0$ 的代数方程求解。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 设函数 $f(x)=a{x}^2+c$ ($a\ne 0$).若 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(x_0)$， $0\le x_0\le 1$，则 $x_0$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）对左边的定积分进行积分积算。
2. 将积分值与右侧的函数值 $f(x_0)$ 联立方程，消去常数项后解出 $x_0$。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

根据微积分基本定理，对左边定积分进行计算： ${\int }_0^1(a{x}^2+c)\mathrm{d}x={\left[\frac{1}{3}a{x}^3+cx\right]}_0^1=\left(\frac{1}{3}a\cdot 1^3+c\cdot 1\right)-0=\frac{1}{3}a+c$ 因为 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(x_0)$，代入得： $\frac{1}{3}a+c=a{x}_0^2+c$ 两边同时减去 $c$ 得 $\frac{1}{3}a=a{x}_0^2$。 由于 $a\ne 0$，两边同除以 $a$ 得： $x_0^2=\frac{1}{3}$ 又因为 $0\le x_0\le 1$，对两边开平方取正根： $x_0=\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：幂函数的定积分公式 $\int x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}$，定积分的基本运算性质。
2. 核心方法：公式积分法。
3. 避坑指南：积分上限和下限代入时注意符号和零项的相减，不要遗漏常数项 $c$ 的积分变为 $cx$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高等数学中“积分中值定理（Mean Value Theorem for Integrals）”的代数具体化。定理指出，若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则必存在一点 $\xi \in [a,b]$ 使得 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a)$。本题中 $a=0,b=1$，故 $b-a=1$，求出的 $x_0$ 即为该中值点。
2. 结论推广: 对于任意二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 在 $[0,1]$ 上的积分中值点 $x_0$，其值恒满足 $x_0=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，与二次项系数 $a$、一次项系数 $b$ 及常数项 $c$ 的具体数值完全无关。

🔗【关联脉络】

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$\surd 33$

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷理-07 单-定积分的几何
• 2011-大纲卷理-13 填-定积分
• 2011-安徽卷理-12 填-定积分