2010-山东卷理-07 单-定积分的几何

本题导读

本题考查利用定积分计算两条曲线围成的平面封闭图形面积。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 由曲线 $y=x^2,y=x^3$ 围成的封闭图形面积为()

A. $\frac{1}{12}$　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　D. $\frac{7}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立 $y=x^2$ 与 $y=x^3$ 求出曲线的交点横坐标，确定积分上下限。
2. 在积分区间 $[0,1]$ 内比较 $x^2$ 与 $x^3$ 的大小。
3. 列出定积分 $S={\int }_0^1(x^2-x^3)\mathrm{d}x$ 进行计算。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

联立曲线方程： $\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=x^3\end{array}⟹x^2=x^3⟹x^2(1-x)=0⟹x_1=0,x_2=1$

当 $x\in [0,1]$ 时，有 $x^2\ge x^3$。

故围成的封闭图形面积为： $S={\int }_0^1(x^2-x^3)\mathrm{d}x={\left[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4\right]}_0^1=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分计算平面图形面积 $S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$。
2. 核心方法：联立方程确定积分限 $\to$ 确定上下函数关系 $\to$ 积分求解。
3. 避坑指南：区间 $[0,1]$ 上 $x^2>x^3$，被积函数需写为 $x^2-x^3$，不可颠倒顺序。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：微积分基本定理的经典几何应用。
2. 结论推广：由 $y=x^m,y=x^n(n>m>0)$ 在 $[0,1]$ 上围成的面积为 $S=\frac{1}{m+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n-m}{(m+1)(n+1)}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

A

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-13 填-定积分
• 2011-安徽卷理-12 填-定积分
• 2011-山东卷理-14 填-定积分