2011-安徽卷理-12 填-定积分

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项式系数性质。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)）

设 $(x-1{)}^{21}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{21}{x}^{21}$，则 $a_{10}+a_{11}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据二项式定理的通项公式写出 $a_{10}$ 和 $a_{11}$ 的表达式。

2. 利用组合数性质 $C_n^k=C_n^{n-k}$ 进行化简求和。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：

由二项式定理，$(x-1{)}^{21}$ 的展开式通项为：

$T_{k+1}={\mathrm{C}}_{21}^k{x}^{21-k}(-1{)}^k$

令 $21-k=10$，得 $k=11$，所以 $x^{10}$ 的系数为：

$a_{10}={\mathrm{C}}_{21}^{11}(-1{)}^{11}=-{\mathrm{C}}_{21}^{11}$

令 $21-k=11$，得 $k=10$，所以 $x^{11}$ 的系数为：

$a_{11}={\mathrm{C}}_{21}^{10}(-1{)}^{10}={\mathrm{C}}_{21}^{10}$

根据组合数性质，${\mathrm{C}}_{21}^{11}={\mathrm{C}}_{21}^{10}$，所以：

$a_{10}+a_{11}=-{\mathrm{C}}_{21}^{11}+{\mathrm{C}}_{21}^{10}=0$

答案为：0

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式展开式的通项公式与组合数性质 ${\mathrm{C}}_n^k={\mathrm{C}}_n^{n-k}$。

• 核心方法：通项公式求系数法。

• 避坑指南：注意负号 $(-1{)}^k$ 的处理，切勿漏掉符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自二项式定理基础考查。

• 结论推广：对于 $(x-1{)}^{2n+1}$，其展开式中 $a_n+a_{n+1}=0$ 恒成立。

🔗【关联脉络】

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