2008-山东卷理-15 填-解三角形

本题导读

本题考查向量运算与解三角形的有机结合。第一步通过向量垂直的坐标点乘公式锁定内角 $A$ 的大小；第二步利用正弦定理将复杂的边角混合递推式转化为纯角正弦代数式，化简求出特殊角。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 已知 $a,b,c$ 为 $△ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 的对边，向量 $\mathbf{m}=(\sqrt{3},-1)$， $\mathbf{n}=(\cos A,\sin A)$.若 $\mathbf{m}\perp \mathbf{n}$，且 $a\cos B+b\cos A=c\sin C$，则角 $B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用向量垂直的充要条件 $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=0$ 建立关于角 $A$ 的三角方程，求出 $A$ 的特殊角值。
2. 运用正弦定理将已知恒等式 $a\cos B+b\cos A=c\sin C$ 中的边长全部替换为对应角的正弦值，利用两角和的正弦公式及内角和定理化简确定角 $C$，进而求出角 $B$。

✅【答案】

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$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{m}\perp \mathbf{n}$，所以 $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=\sqrt{3}\cos A-\sin A=0$。 移项得 $\sin A=\sqrt{3}\cos A⟹\tan A=\sqrt{3}$。 因为 $A$ 为 $△ABC$ 的内角（$A\in (0,\pi )$），所以 $A=\frac{\pi }{3}$。

在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$， 将已知等式 $a\cos B+b\cos A=c\sin C$ 中的边长进行角化代换，得： $\sin A\cos B+\sin B\cos A=\sin C\sin C$ 利用两角和的正弦公式，左边可化简为 $\sin (A+B)$： $\sin (A+B)={\sin }^{2}C$ 因为 $A+B+C=\pi$，所以 $\sin (A+B)=\sin (\pi -C)=\sin C$。 代入方程得 $\sin C={\sin }^{2}C⟹\sin C(1-\sin C)=0$。 因为 $C$ 是 $△ABC$ 的内角，所以 $\sin C>0$，两边约去 $\sin C$ 得： $\sin C=1⟹C=\frac{\pi }{2}$ 所以角 $B=\pi -A-C=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}$。

答案：$\frac{\pi }{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的坐标表示，正弦定理的“角化”过渡，三角形内角和关系的相位变换。
2. 核心方法：边角互化法。
3. 避坑指南：在得到 $\sin C={\sin }^{2}C$ 时，必须基于三角形内角中正弦值不为 0 的几何常识约去 $\sin C$，切勿保留无用的零根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是解三角形章节中最典型的横向跨界综合小题，将向量工具性与正余弦定理的边角转换性质完美衔接。
2. 结论推广: 在任意三角形中，关系式 $a\cos B+b\cos A=c$ 属于射影定理（第一余弦定理）的基础恒等式。当等式右边由 $c$ 演变为 $c\sin C$ 时，该三角形必为以 $C$ 为直角的直角三角形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2009-江苏卷-15 解-向量与三角恒等