2009-江苏卷-15 解-向量与三角恒等

本题导读

考查向量与三角综合。(1) $a\perp (b-2c)$ 化出 $\tan (\alpha +\beta )=2$；(2) $|b+c{|}^2=17-15\sin 2\beta ⩽32$；(3) $\det (a,b)=\cos \alpha \cos \beta (16-\tan \alpha \tan \beta )=0$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 设向量 $a=(4\cos \alpha ,\sin \alpha )$，$b=(\sin \beta ,4\cos \beta )$，$c=(\cos \beta ,-4\sin \beta )$.

(1) 若 $a$ 与 $b-2c$ 垂直，求 $\tan (\alpha +\beta )$ 的值；

(2) 求 $|b+c|$ 的最大值；

(3) 若 $\tan \alpha \tan \beta =16$，求证：$a\parallel b$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $a\cdot (b-2c)=4\sin (\alpha +\beta )-8\cos (\alpha +\beta )=0$。
2. (2) $|b+c{|}^2=(\sin \beta +\cos \beta {)}^2+16(\cos \beta -\sin \beta {)}^2=17-15\sin 2\beta$。
3. (3) $\det (a,b)=4\cos \alpha \cdot 4\cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\cos \alpha \cos \beta (16-\tan \alpha \tan \beta )$。

✅【答案】

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(1) $2$；(2) $4\sqrt{2}$；(3) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由垂直条件得 $0=a\cdot (b-2c)=4\cos \alpha (\sin \beta -2\cos \beta )+\sin \alpha (4\cos \beta +8\sin \beta )$。 整理得 $0=4(\sin (\alpha +\beta )-2\cos (\alpha +\beta ))$。 若 $\cos (\alpha +\beta )=0$，上式不可能成立，所以 $\tan (\alpha +\beta )=2$。 (2) $|b+c{|}^2=(\sin \beta +\cos \beta {)}^2+4^2(\cos \beta -\sin \beta {)}^2=1+\sin 2\beta +16(1-\sin 2\beta )=17-15\sin 2\beta ⩽32$。 当 $\sin 2\beta =-1$ 时等号成立，故 $|b+c|$ 的最大值为 $4\sqrt{2}$。 (3) 因为 $\tan \alpha$ 和 $\tan \beta$ 有意义，所以 $\cos \alpha \ne 0$，$\cos \beta \ne 0$。又 $\det (a,b)=4\cos \alpha \cdot 4\cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\cos \alpha \cos \beta (16-\tan \alpha \tan \beta )=0$。 因此 $a\parallel b$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直、模与平行

核心方法：数量积为零、模平方、行列式判平行

避坑指南：(3) 用 $\det (a,b)=\cos \alpha \cos \beta (16-\tan \alpha \tan \beta )$ 一步到位。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：一题三问纵贯垂直、模、平行三种向量关系。

结论推广：(1) 展开后直接凑 $\sin (\alpha +\beta )$ 与 $\cos (\alpha +\beta )$。

方法推广：(2) 最大值在 $\sin 2\beta =-1$ 处；(3) 先说明 $\cos \alpha \cos \beta \ne 0$ 再除。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参
• 2011-北京卷文-15 解-三角恒等变换最值
• 2011-江苏卷-15 解-三角恒等变换与解三角形