2008-广东卷文-02 单-复数模取值范围

本题导读

$|z|=\sqrt{a^2+1}$，$0<a<2\Rightarrow 1<a^2+1<5$，开方即得范围.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 已知 $0<a<2$，复数 $z=a+\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 是虚数单位），则 $|z|$ 的取值范围是()

A. $(1,\sqrt{3})$　　　　B. $(1,\sqrt{5})$　　　　C. $(1,3)$　　　　D. $(1,5)$

🔍【思路分析】

破题导航

模的平方 $a^2+1$ 随 $a^2\in (0,4)$ 落在 $(1,5)$，开方后仍为 $(1,\sqrt{5})$.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由复数模的定义，$|z|=\sqrt{a^2+1}$．因为 $0<a<2$，所以 $1<a^2+1<5$，而平方根函数在正数集上单调递增，故 $1<|z|<\sqrt{5}$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模

核心方法：先写 $|z|=\sqrt{a^2+1}$，再用 $a$ 的范围控制模的范围

避坑指南：端点是开区间：$a=0$ 与 $a=2$ 都取不到，$|z|=1$ 与 $|z|=\sqrt{5}$ 均取不到，答案写成闭区间是常见失分点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数模与实部范围的简单复合，教材例题级改编

结论推广：$z=a+\mathrm{i}$（$b$ 固定）的模范围随 $a\in (\alpha ,\beta )$ 走单调

方法推广：含参数模的范围题：先平方去掉根号，再对二次式用范围放大

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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