2014-广东卷理-02 单-复数的乘除运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，重点介绍复数的除法。通过分母实数化（乘以共轭复数）来直观复数$z$的标准形式。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 已知复数$z$满足$(3+4i)z=25$, 则$z=$ () 一个.

A. $3-4i$　　　　B. $3+4i$　　　　C. $-3-4i$　　　　D. $-3+4i$

🔍【思路分析】

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1. 转化方程：将已知方程变形为$z=\frac{25}{3+4i}$。

2. 分母实数化：为了化简复数法，分子和分母需要同时乘以分母的共普拉复数，即$3-4i$。

3. 计算结果：利用公式$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$计算分母，展开分子并化简得出最终结果。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由题意得：

$z=\frac{25}{3+4i}$

分子分母同时乘以分母的共轭复数$3-4i$：

$z=\frac{25(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}$

根据复数乘法法则$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$：

$z=\frac{25(3-4i)}{3^2+4^2}$

$z=\frac{25(3-4i)}{9+16}$

$z=\frac{25(3-4i)}{25}$

约去公约数25得：

$z=3-4i$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数形式的除法运算。

2. 核心方法：分母实数化，分子分母同乘共轭复数 $3-4i$ 化简。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 共轭复数乘积 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$。

2. 结论推广: $\frac{z_1}{z_2}$ 通过乘分母共轭化简为标准形式。

3. 方法推广: 复数除法统一分母实数化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-湖南卷文-01 单-复数运算
• 2015-新课标II卷文-02 单-复数运算
• 2015-广东卷文-02 单-复数运算