2012-广东卷理-14 填-参数方程

本题导读

本题考查参数方程与直角坐标方程的互化，以及抛物线与圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的参数方程分别为 $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{t}\end{array}$（ $t$ 为参数）和 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\cos \theta \\ y=\sqrt{2}\sin \theta \end{array}$（ $\theta$ 为参数），则曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的交点坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将曲线 $C_1$ 的参数方程消去参数 $t$：由 $y=\sqrt{t}$ 两边平方得 $y^2=t$，结合 $x=t$ 转化为直角坐标方程，并注意由根式带来的自变量范围限制。
2. 将曲线 $C_2$ 的参数方程消去参数 $\theta$：利用同角三角函数平方和关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 转化为圆的标准直角坐标方程。
3. 联立两直角坐标方程组成方程组，求解并进行定义域边界检验，确定最终交点。

✅【答案】

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$(1,1)$

✍【详细解析】

Abstract

消去曲线 $C_1$ 的参数 $t$： 因为 $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{t}\end{array}$，且算术根式满足 $y\ge 0⟹t\ge 0$， 所以 将 $t=x$ 代入 $y^2=t$ 中，得到直角坐标方程为： $y^2=x(x\ge 0,y\ge 0)$

消去曲线 $C_2$ 的参数 $\theta$： 因为 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\cos \theta \\ y=\sqrt{2}\sin \theta \end{array}⟹\{\begin{array}{l}\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{2}}\\ \sin \theta =\frac{y}{\sqrt{2}}\end{array}$， 所以 利用 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 满足： ${\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{y}{\sqrt{2}}\right)}^2=1⟹\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=1⟹x^2+y^2=2$

联立曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的直角坐标方程组成方程组： $\{\begin{array}{l}{y}^2=x\text{(1)}\\ x^2+y^2=2\text{(2)}\end{array}$

将①式代入②式中，消去变量 $y$： $x^2+x=2⟹x^2+x-2=0$

因式分解该一元二次方程： $(x+2)(x-1)=0⟹x=-2\text{或}x=1$

因为由 $C_1$ 的定义域及范围约束可知 $x\ge 0,y\ge 0$， 所以 舍去 $x=-2$，留取 $x=1$。

将 $x=1$ 代入①式中： $y^2=1⟹y=1\text{或}y=-1$ 因为 $y\ge 0$，故舍去 $y=-1$，留取 $y=1$。

所以，方程组的解为 $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$。

故答案为：$(1,1)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程化直角坐标方程的消参技术、曲线交点的代数联立求解。
2. 核心方法：代入消参法、三角平方和消参法。
3. 避坑指南：必须严格注意消参过程中的取值范围变化。由于 $y=\sqrt{t}$，天然蕴含了 $y\ge 0$ 和 $x=t\ge 0$ 的隐性约束，如果不进行边界检验，极易错把 $(-2,\sqrt{2})$ 或 $(1,-1)$ 作为多余交点写入答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材选修4-4《坐标系与参数方程》中关于参数方程与直角坐标方程互化应用的常规核心解答题。
2. 结论推广：在解析几何中，参数方程转换直角坐标方程的本质是消元。对于代数幂次型参数常用代入法消参，对于三角函数型参数常用平方和恒等式消参。在完成消参后，新方程必须完整继承原参数方程对坐标轴的动态定义域控制，这是确保复核准确的核心。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

• 18.03 抛物线专题全总结 类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义

• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义

• 1994-全国卷理-17