2008-广东卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的概念与模的计算，通过已知实部与虚部的范围确定复数模的取值范围。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 已知 $0<a<2$，复数 $z$ 的实部为 $a$，虚部为 $1$，则 $|z|$ 的取值范围是 ()

A. $(1,5)$　　　　B. $(1,3)$　　　　C. $(1,\sqrt{5})$　　　　D. $(1,\sqrt{3})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据复数的实部和虚部写出复数的代数形式 $z=a+i$。
2. 利用复数模的公式 $|z|=\sqrt{a^2+1}$，结合 $a$ 的取值范围求出模的范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由题意得 $z=a+i$（其中 $0<a<2$）。 则 $|z|=\sqrt{a^2+1}$。 因为 $0<a<2$，所以 $0<a^2<4$。 进而 $1<a^2+1<5$， 故 $1<\sqrt{a^2+1}<\sqrt{5}$。 所以 $|z|$ 的取值范围是 $(1,\sqrt{5})$。 正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的代数表示及模长公式 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。
2. 核心方法：利用函数的单调性或不等式性质求解代数式的取值范围。
3. 避坑指南：注意虚部是实数 $1$，而不是 $i$；开方时需注意边界端点是否包含。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中复数的基本运算与性质，属于基础课后习题的变式改造。
2. 结论推广: 若复数 $z=a+bi$（$b$ 为常数），当 $a\in (m,n)$ 且 $m\ge 0$ 时，其模的范围为 $(\sqrt{m^2+b^2},\sqrt{n^2+b^2})$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2009-上海卷理-01 填-复数
• 2009-北京卷理-01 单-复数