2008-广东卷理-10 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的展开式通项。通过求出指定项的系数，建立关于参数的不等式，结合正整数范围求出参数值。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 已知 $(1+k{x}^2{)}^6$ ($k$ 是正整数) 的展开式中, $x^8$ 的系数小于 120, 则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 令 $x$ 的指数等于 8，确定对应的 $r$ 值，从而写出 $x^8$ 的系数表达式。
3. 解不等式并结合 $k$ 为正整数的条件确定 $k$ 的值。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

$(1+k{x}^2{)}^6$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot 1^{6-r}\cdot (k{x}^2{)}^r={\mathrm{C}}_6^r{k}^r{x}^{2r}$ 令 $2r=8$，解得 $r=4$。 所以 $x^8$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_6^4{k}^4=15k^4$。

根据题意有： $15k^4<120⟹k^4<8$ 由于 $k$ 是正整数， 当 $k=1$ 时，$1^4=1<8$，满足条件； 当 $k=2$ 时，$2^4=16>8$，不满足条件。 故 $k$ 的值只能为 1。

正确答案为：1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 核心方法：通过未知数指数对应法锁定特定的项，利用整体系数建立不等式。
3. 避坑指南：注意通项公式中 $x^2$ 的整体幂次变化，不要把系数 $k$ 漏掉 $\left((k{x}^2{)}^4=k^4{x}^8\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中关于二项式系数与项的系数的应用题，属于标准的定理直接应用。
2. 结论推广: 对于 $(1+k{x}^m{)}^n$ 的展开式中 $x^{mt}$ 的系数，其通用表达式为 ${\mathrm{C}}_n^t{k}^t$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-06 单-二项式定理
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