2008-新课标卷文-09 单-向量共线充要

本题导读

考查向量共线的充要条件。方向相同只是充分条件，零向量情形无法用 $b=\lambda a$ 概括，正确表述是存在不全为零的 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 使 ${\lambda }_{1}a+{\lambda }_{2}b=0$，选 D。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 平面向量 $a$，$b$ 共线的充要条件是()

A. $a$，$b$ 方向相同　　　　B. $a$，$b$ 两向量中至少有一个为零向量

C. $\exists \lambda \in \mathbf{R}$，$b=\lambda a$　　　　　　　　D. 存在不全为零的实数 ${\lambda }_1$，${\lambda }_2$，${\lambda }_{1}a+{\lambda }_{2}b=0$

🔍【思路分析】

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1. 逐项审视充分性与必要性。
2. A 只保证方向相同，未涵盖方向相反或一为零向量。
3. B 只涵盖”有零向量”这一种共线情形，不充分。
4. C 当 $a=0$、$b\ne 0$ 时无法表达。
5. D 是共线的等价刻画。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

两向量 $a,b$ 共线 $⟺$ 存在不全为零的实数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 使 ${\lambda }_{1}a+{\lambda }_{2}b=0$（线性相关），即 D. A：$a,b$ 方向相同只说明共线的一种情形，方向相反也共线，故不必要； B：至少有一个为零向量只是共线的充分条件（如 $a=(1,0)$，$b=(2,0)$ 均非零也共线），不必要； C：当 $a=0$、$b\ne 0$ 时不存在 $\lambda$ 使 $b=\lambda a$，但此时 $a,b$ 共线，故 C 不充分. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量共线的充要条件

核心方法：共线 $⟺$ 存在不全为零的 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 使 ${\lambda }_{1}a+{\lambda }_{2}b=0$

避坑指南：共线的充要条件是”线性相关”（D）；“方向相同”不涵盖反向、零向量；"$b=\lambda a$"在 $a=0$ 时失效；“至少有一个零向量”只是充分不必要。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量共线（线性相关）的等价刻画是概念辨析题，2012 福建文第 3 题为垂直的充要条件版本。

结论推广：$a,b$ 共线 $⟺$ 线性相关 $⟺$ 存在不全为零的 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 使 ${\lambda }_{1}a+{\lambda }_{2}b=0$。

方法推广：概念题逐项检验充分性与必要性，重点抓”零向量”这个反例；D 是标准等价表述。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-02 单-向量共线
• 2009-四川卷文-07 单-充要条件
• 2012-福建卷文-03 单-向量垂直充要条件
• 2012-浙江卷文-07 单-向量模与共线