2008-新课标卷文-11 单-三角函数值域

本题导读

考查三角函数值域。$f(x)=\cos 2x+2\sin x=-2{\sin }^{2}x+2\sin x+1$，配方得 $f(x)=-2{\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}$，最大 $\frac{3}{2}$、最小 $-3$，选 C。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 函数 $f(x)=\cos 2x+2\sin x$ 的最小值和最大值分别为()

A. $-1$，$1$　　　　B. $-2$，$2$　　　　C. $-3$，$\frac{3}{2}$　　　　D. $-2$，$\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 用 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ 统一为 $\sin x$ 的二次函数。
2. 令 $t=\sin x\in [-1,1]$，配方求二次函数在闭区间上的最值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$，得 $f(x)=1-2{\sin }^{2}x+2\sin x=-2{\sin }^{2}x+2\sin x+1.$ 令 $t=\sin x$，$t\in [-1,1]$，则 $f(x)=-2t^2+2t+1=-2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}.$ 对称轴 $t=\frac{1}{2}\in [-1,1]$，故最大值为 $\frac{3}{2}$. 在区间 $[-1,1]$ 上，离对称轴最远的端点是 $t=-1$，此时 $f(x)=-2{\left(-1-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}=-2\times \frac{9}{4}+\frac{3}{2}=-3,$ 故最小值为 $-3$. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的值域

核心方法：$f(x)=-2{\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}$，最大 $\frac{3}{2}$、最小 $-3$

避坑指南：用 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ 统一为 $\sin x$ 的二次式；令 $t=\sin x\in [-1,1]$ 后配方；最小值在端点 $t=-1$ 处取得，不是对称轴处。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“二倍角+一次项”的三角函数值域题，2009 新课标Ⅰ文第 4 题、2011 新课标Ⅰ文第 7 题同考二倍角。

结论推广：$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$；闭区间上二次函数最值看对称轴与端点。

方法推广：先统一到单一三角函数，配方后结合 $t\in [-1,1]$ 定最值；最小值往往在离对称轴最远的端点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-04 单-三角命题真假
• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期
• 2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称
• 2011-新课标卷文-07 单-二倍角余弦