2012-湖北卷理-08 单-几何概型

本题导读

本题考查几何概型，以及扇形与半圆的面积计算。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)） 如图，在圆心角为直角的扇形 $OAB$ 中，分别以 $OA,OB$ 为直径作两个半圆.在扇形 $OAB$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()

A. $1-\frac{2}{\pi }$　　　　　　B. $\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }$　　　　　　C. $\frac{2}{\pi }$　　　　　　D. $\frac{1}{\pi }$

🔍【思路分析】

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1. 确定几何概型的计算基本盘：整个试验的测度区域为直角扇形 $OAB$。设半圆的半径为 $r$，则大扇形的半径为 $2r$。先算出大扇形的总面积 $S_{\text{总}}$ 作为分母。
2. 运用容斥原理理清面积层级：

• 观察两个以 $OA,OB$ 为直径的半圆。这两个半圆完全包含在大扇形内部。
• 两个半圆的面积之和为 $S_{\text{两半圆}}=\frac{1}{2}\pi r^2+\frac{1}{2}\pi r^2=\pi r^2$。
• 这两个半圆在靠近原点 $O$ 的地方有一处交叉重叠的区域（即左下方的树叶形阴影，设为 $S_1$）。
• 根据容斥原理，两个半圆并起来的总覆盖面积为： $S_{\text{覆盖}}=S_{\text{两半圆}}-S_1=\pi r^2-S_1$。

3. 建立阴影总面积的等量代换：

• 仔细观察上方的阴影（设为 $S_2$），它是由大扇形减去两个半圆并起来的区域后剩下的空白。
• 即 $S_2=S_{\text{总}}-S_{\text{覆盖}}=S_{\text{总}}-(\pi r^2-S_1)=S_{\text{总}}-\pi r^2+S_1$。
• 我们所求的阴影总面积为 $S_{\text{阴影}}=S_1+S_2$。通过代数式合并可以发现，未知项在求和时可以被完美化简，从而免去分别硬算两块面积的灾难级计算。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设参数并计算大扇形总面积 设以 $OA,OB$ 为直径的两个半圆的半径均为 $r(r>0)$。 因为 $OA,OB$ 是大扇形的直角半径，所以大扇形 $OAB$ 的半径为 $R=2r$，圆心角 $\alpha =90^{\circ }=\frac{\pi }{2}$。 整个扇形 $OAB$ 的总面积 $S_{\text{总}}$（即试验的全体基本事件区域测度）为： $S_{\text{总}}=\frac{1}{4}\pi R^2=\frac{1}{4}\pi (2r{)}^2=\frac{1}{4}\pi \cdot 4r^2=\pi r^2\text{(1)}$

第二步：利用容斥原理表示两半圆的并集面积 我们把以 $OA$ 为直径的半圆记为几何面片 $M$，以 $OB$ 为直径的半圆记为几何面片 $N$。 显然，这两个半圆的面积本就相等，均为： $S_M=S_N=\frac{1}{2}\pi r^2$ 两半圆的面积之和为： $S_M+S_N=\frac{1}{2}\pi r^2+\frac{1}{2}\pi r^2=\pi r^2\text{(2)}$

设两半圆在左下角交叠出来的“树叶形”区域为 $A_1$（即左下方的阴影部分）。 根据集合的容斥原理，这两个半圆在空间中所包络覆盖的总面积（即两集合的并集 $M\cup N$）可以表示为： $S_{M\cup N}=S_M+S_N-S_{M\cap N}=\pi r^2-S_{A_1}\text{(3)}$

第三步：表示右上方的阴影面积并求和 观察图形可知，右上方的阴影区域（记为 $A_2$）是大扇形内部减去这两个半圆并集覆盖区域后剩余的碎屑部分。 因此，区域 $A_2$ 的面积可以定量表示为： $S_{A_2}=S_{\text{总}}-S_{M\cup N}$ 将①式和③式代入上式中： $S_{A_2}=\pi r^2-(\pi r^2-S_{A_1})=S_{A_1}$ 这是一个极其惊艳的几何发现：右上方的阴影面积 $S_{A_2}$ 居然在数值上与左下角重叠的阴影面积 $S_{A_1}$ 完全相等。

因此，题目所求的阴影部分的代数总面积 $S_{\text{阴影}}$ 为： $S_{\text{阴影}}=S_{A_1}+S_{A_2}=S_{A_1}+S_{A_1}=2S_{A_1}\text{(4)}$

第四步：计算“树叶形”特殊区域的面积 既然总面积等价于 $2S_{A_1}$，我们只需单独求出左下角由两半圆交叠出的单片树叶面积 $S_{A_1}$ 即可。 该树叶形面积严格等于两个直角四分之一扇形减去一个以 $r$ 为边长的等腰直角三角形的面积差： $S_{A_1}=2\times \left(\frac{1}{4}\pi r^2\right)-r^2=\frac{1}{2}\pi r^2-r^2\text{⑤}$

将⑤式代入④式中，求得最终的阴影总面积： $S_{\text{阴影}}=2\left(\frac{1}{2}\pi r^2-r^2\right)=\pi r^2-2r^2\text{⑥}$

第五步：套用几何概型公式求概率 根据面积型几何概型的计算公式，目标事件发生的概率 $P$ 为阴影总面积与大扇形总面积的比值： $P=\frac{S_{\text{阴影}}}{S_{\text{总}}}=\frac{\pi r^2-2r^2}{\pi r^2}$ 分子与分母同时约去共同的参数平方项 $r^2$： $P=\frac{\pi -2}{\pi }=1-\frac{2}{\pi }$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面图形几何特征的容斥割补、面积型几何概型概率公式的常规计算。
2. 核心方法：容斥原理代数消元法。本题如果按照常规的思维，先算左下角弓形重叠，再用大扇形减去各种组合去算右上角极其不规则的曲边三角形，其繁琐的代数式展开极易让人在考场上由于计算冗长而算错。通过巧妙引入容斥原理集合语言 $S_{A_2}=S_{\text{总}}-(S_M+S_N-S_{A_1})$，一眼看穿 $S_{A_2}=S_{A_1}$ 的对偶相等性，将两块不规则图形化归为同一块，瞬间让运算量降到最低。
3. 避坑指南:

• 大扇形半径错认：在设小半圆直径为 $2r$ 时，大扇形的半径是 $2r$，其平方项展开后是 $(2r{)}^2=4r^2$。部分考生容易粗心漏掉系数的平方，误记为 $2r^2$，直接导致分母算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第八章《概率》中几何概型这一古典延伸章节的经典探究压轴选择题。在现代几何学中，该图形属于经典的方圆对偶容斥守恒模型。
2. 结论推广:

• 直角扇形双内切半圆阴影有界概率快速模型：对于任意一个标准直角扇形，若在其两垂直半径上分别构筑全等半圆。
• 无论大扇形的绝对半径长度变大或变小，由这两半圆的相交特征所包络围成的两块非连续阴影区域，其在总空间中所占有的面积比例（几何概率）是一个与半径彻底剥离的宇宙级刚性常数。
• 其严格的通用快速得出概率恒表现为： $P\equiv 1-\frac{2}{\pi }\approx 36.3\%$
• 掌握这一约 36.3% 的几何常数模型，在考场上遇到任何完全相同的图形结构问概率时，均能做到完全，直接直接得出正确选项 A。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

• 07.01 弧度制与扇形度量 类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-05 单-面积类几何概型

• 2008-江苏卷-06 填-几何概型面积

• 2009-山东卷文-11 单-几何概型