2008-江苏卷-18 解-圆方程定点

本题导读

经过抛物线与两坐标轴三个交点的圆：第(1)问由交点个数定 $b$ 范围；第(2)问用根的一致性定圆方程系数；第(3)问把方程按 $b$ 整理，令系数为零求定点。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设二次函数 $f(x)=x^2+2x+b$（$x\in \mathbf{R}$）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 $C$.

(1)求实数 $b$ 的取值范围；

(2)求圆 $C$ 的方程；

(3)问圆 $C$ 是否经过定点（其坐标与 $b$ 无关）？请证明你的结论.

🔍【思路分析】

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1. (1) 与 $x$ 轴有两不同交点需 $\Delta >0$，与 $y$ 轴交点 $(0,b)$ 不与原点重合需 $b\ne 0$。
2. (2) 设圆的一般式，令 $y=0$、$x=0$ 与抛物线交点方程比对系数。
3. (3) 按 $b$ 整理圆方程，定点与 $b$ 无关意味着 $b$ 的系数为零。

✅【答案】

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(1)$b<1$ 且 $b\ne 0$；(2)$x^2+y^2+2x-(b+1)y+b=0$；(3)经过定点 $(0,1)$ 和 $(-2,1)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)抛物线与 $x$ 轴的交点由 $x^2+2x+b=0$ 决定，有两个不同交点需 $\Delta =4-4b>0$，即 $b<1$；与 $y$ 轴交点为 $(0,b)$，需 $b\ne 0$ 才不与原点重合。故 $b<1$ 且 $b\ne 0$。

(2)设圆 $C$：$x^2+y^2+ux+vy+w=0$。令 $y=0$ 得 $x^2+ux+w=0$，它与 $x^2+2x+b=0$ 同根，故 $u=2$，$w=b$。 令 $x=0$ 得 $y^2+vy+w=0$，它有一个根为 $b$，代入得 $b^2+vb+b=0$，由 $b\ne 0$ 得 $v=-(b+1)$。 所以圆 $C$：$x^2+y^2+2x-(b+1)y+b=0$。

(3)按 $b$ 整理：$x^2+y^2+2x-y+b(1-y)=0$。 若点 $(x_0,y_0)$ 对一切允许的 $b$ 都在圆上，则必须有 $1-y_0=0$，即 $y_0=1$；代入得 $x_0^2+2x_0=0$，解得 $x_0=0$ 或 $x_0=-2$。 直接验证：$b=1-y$ 时方程对任意 $b\in (-\infty ,0)\cup (0,1)$ 都成立，即 $(0,1)$ 与 $(-2,1)$ 在所有圆 $C$ 上。 所以圆 $C$ 恒经过两个定点 $(0,1)$ 和 $(-2,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的方程与定点问题

核心方法：根的一致性定系数，按参数整理求定点

避坑指南：$b\ne 0$ 别漏，否则三交点退化为两个；定点证明要对一切允许的 $b$ 成立，单代两个特殊 $b$ 不够。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 江苏卷第 18 题、2011 山东文第 22 题同含定点问题。

结论推广：过定点证明的通法：按参数整理，令系数为零。

方法推广：曲线系过定点的关键是把参数”隔离”成 $b\cdot f(x,y)+g(x,y)=0$ 的形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-18 解-直线与圆双弦
• 2009-广东卷文-13 填-圆的方程
• 2011-山东卷文-22 解-椭圆定点与对称
• 2009-江西卷文-16 填-直线系与圆