2008-江西卷文-02 单-集合新定义运算

本题导读

$A\ast B$ 的元素是”任取 $x\in A$、$y\in B$ 作乘积”的全体，注意去重.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 定义集合运算：$A\ast B=\{z\mid z=xy,x\in A,y\in B\}$. 设 $A=\{1,2\}$，$B=\{0,2\}$，则集合 $A\ast B$ 的所有元素之和为()

A. 0　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

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乘积全体：$0,2,0,4$，去重得 $A\ast B=\{0,2,4\}$，和为 $6$.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

按定义逐一计算：$1\times 0=0$，$1\times 2=2$，$2\times 0=0$，$2\times 2=4$. 由集合元素的互异性，$A\ast B=\{0,2,4\}$. 所有元素之和为 $0+2+4=6$，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合新定义运算与乘法封闭

核心方法：严格按定义翻译”运算封闭”，构造具体元素验证或否定

避坑指南：新定义题答案藏在定义里：先看清 $\odot$ 到底怎样算，再看 $A\odot B$ 的封闭性；举反例只需一个元素即可否定

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义集合运算是课标卷的常客（2010 四川文 16 封闭集、2012 江西文 16 数域）

结论推广：可追问”封闭性”是否对并、交、补保持，结论可推广为对减法、除法的封闭判定

方法推广：按定义验证 + 构造反例，是新定义题的通用解法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-05 单-新定义运算
• 2010-广东卷文-10 单-新定义运算
• 2010-四川卷文-16 填-封闭集新定义
• 2009-北京卷文-08 单-正三角形新定义区域