2008-江西卷理-03 单-函数

本题导读

本题考查复合函数值域的求解。通过整体换元法将原函数转化为经典的“对勾函数”模型，利用其在正半轴上的单调性特征确定区间最值。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 若函数 $y=f(x)$ 的值域是 $\left[\frac{1}{2},3\right]$, 则函数 $F(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}$ 的值域是 ()

A. $\left[\frac{1}{2},3\right]$　　　B. $\left[2,\frac{10}{3}\right]$　　　C. $\left[\frac{5}{2},\frac{10}{3}\right]$　　　D. $\left[3,\frac{10}{3}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 采用整体换元法，令 $t=f(x)$，将原函数转化为关于 $t$ 的新函数 $g(t)=t+\frac{1}{t}$，其自变量范围为 $t\in \left[\frac{1}{2},3\right]$。
2. 利用对勾函数 $y=t+\frac{1}{t}$ 在 $(0,1]$ 上单调递减、在 $[1,+\infty )$ 上单调递增的几何特征，寻找区间内的极小值与端点最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=f(x)$。因为函数 $y=f(x)$ 的值域是 $\left[\frac{1}{2},3\right]$， 所以新变量 $t$ 的取值范围为 $t\in \left[\frac{1}{2},3\right]$。 原函数转化为关于 $t$ 的函数： $g(t)=t+\frac{1}{t}$

根据对勾函数的图象与单调性性质： 函数 $g(t)=t+\frac{1}{t}$ 在 $(0,1]$ 上单调递减，在 $[1,+\infty )$ 上单调递增。

由于对称轴/转折点 $t=1$ 恰好落在已知区间 $\left[\frac{1}{2},3\right]$ 内部， 所以当 $t=1$ 时，函数取得全局极小值（即最小值）： $g(t{)}_{\min }=g(1)=1+\frac{1}{1}=2$

接下来比较区间两个端点处的函数值以确定最大值：

• 当 $t=\frac{1}{2}$ 时：$g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$；
• 当 $t=3$ 时：$g(3)=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$。

因为 $\frac{10}{3}>\frac{5}{2}$，所以函数的最大值为 $\frac{10}{3}$。

综上所述，函数 $F(x)$ 的值域为 $\left[2,\frac{10}{3}\right]$。

正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：换元法在函数值域中的应用；对勾函数 $y=x+\frac{k}{x}$ ($k>0$) 的双峰单调性形态。
2. 核心方法：整体换元法。
3. 避坑指南：最容易犯的低级错误是盲目地直接把值域边界 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 分别代入，算完后得出 $\left[\frac{5}{2},\frac{10}{3}\right]$ 从而误选 C。切记对勾函数在含 1 的区间内不是单调函数，必须优先考虑极值点 $t=1$ 处的最小值 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查一元二次有理分式性质的最经典基础题型，重在考查对非单调函数最值区间的把控。
2. 结论推广: 推广至更一般的代数形态，若 $f(x)\in [a,b]$ ($0<a<1<b$)，则函数 $f(x)+\frac{1}{f(x)}$ 的取值范围恒为 $\left[2,\max \left(a+\frac{1}{a},b+\frac{1}{b}\right)\right]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项