2008-江西卷理-04 单-函数

本题导读

本题考查函数在特定点处的极限计算。题目属于“$\frac{0}{0}$”型不定式极限，可以通过对分子和分母同时进行根式有理化，消除导致零因子的项从而代入求值。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x}-1}=$ ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　B. 0　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　D. 不存在

🔍【思路分析】

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1. 观察发现当 $x\to 1$ 时，分子 $\sqrt{4}-2=0$，分母 $\sqrt{1}-1=0$，属于标准的 $\frac{0}{0}$ 型极限。
2. 为了消除零因子 $(x-1)$，对分子和分母同时乘其对应的共轭根式进行有理化。
3. 约去公共因子后，直接将 $x=1$ 代入求出结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对原式进行分子和分母的联合有理化处理： $\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x}-1}=\frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x+3}+2)}$

利用平方差公式展开化简分子与分母： $=\frac{[(x+3)-4](\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}$

由于 $x\to 1$ 且 $x\ne 1$，可以安全约去分子与分母中的公共零因子 $(x-1)$ 得： ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x}-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+3}+2}$

此时分母不再为 0，直接将 $x=1$ 代入： $=\frac{\sqrt{1}+1}{\sqrt{1+3}+2}=\frac{1+1}{2+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

正确答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数极限的代数约简；根式平方差有理化消除零因子。
2. 核心方法：双重有理化消元法。
3. 避坑指南：有理化乘共轭根式时，分子分母对应的项千万不要配错或漏掉；高观点下本题可直接用洛必达法则秒杀：上下求导得 ${\lim }_{x\to 1}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+3}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}={\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于微积分初步中极限运算的经典题型，着重考查零因子的代数变形处理。
2. 结论推广: 对于任意带有根式的有理极限 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{\sqrt{x+a}-b}{\sqrt{x}-c}$，若满足 $x_0+a=b^2$ 且 $x_0=c^2$，其极限值可通过导数定义直接化简为 $\frac{c}{b}$。本题中 $c=1,b=2$，直接得出 $\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项