2008-江西卷理-06 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查带有绝对值的三角函数分段图象判定。核心在于通过划分区间去掉绝对值符号，将复杂的函数式化简为熟悉的正弦函数与正切函数进行图象识别。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 函数 $y=\tan x+\sin x-|\tan x-\sin x|$ 在区间 $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$ 内的图象大致是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据区间 $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$，以 $\pi$ 为分界点，将自变量分为 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 和 $\left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 两段。
2. 分段讨论 $\tan x$ 与 $\sin x$ 的大小关系以去掉绝对值符号，对照图象特征进行选择。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

将区间 $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$ 以 $\pi$ 为界进行分段讨论：

• 当 $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 时（第二象限）： 此时 $\tan x<0$，$\sin x>0$，所以 $\tan x-\sin x<0$。 去掉绝对值符号得：$|\tan x-\sin x|=\sin x-\tan x$。 代入原函数解析式： $y=\tan x+\sin x-(\sin x-\tan x)=2\tan x$ 在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 内，$y=2\tan x<0$，当 $x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}$ 时 $y\to -\infty$，当 $x\to {\pi }^{-}$ 时 $y\to 0$。

• 当 $x\in \left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 时（第三象限）： 此时 $\tan x\ge 0$，$\sin x\le 0$，所以 $\tan x-\sin x\ge 0$。 去掉绝对值符号得：$|\tan x-\sin x|=\tan x-\sin x$。 代入原函数解析式： $y=\tan x+\sin x-(\tan x-\sin x)=2\sin x$ 在 $\left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 内，$y=2\sin x\le 0$，当 $x=\pi$ 时 $y=0$，当 $x\to {\frac{3\pi }{2}}^{-}$ 时 $y\to -2$。

综上所述，函数在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 段为正切曲线，在 $\left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 段为正弦曲线。 对照各选项图象，D 选项完全符合上述特征。

正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：带有绝对值号的三角函数式化简；各象限内三角函数值的正负及大小判定。
2. 核心方法：分段去绝对值法。
3. 避坑指南：去绝对值时要准确判定第二、三象限内正弦与正切的相对大小。注意 $x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}$ 时 $2\tan x$ 趋于 $-\infty$，在图象上表现为向下无限延伸。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查对函数 $f(x)=u(x)+v(x)-|u(x)-v(x)|=2\min (u(x),v(x))$ 这一经典取小模型的图象理解。
2. 结论推广: 恒等式 $u+v-|u-v|=2\min (u,v)$ 代表取两函数中的较小者。因此，本题图象本质上就是 $y=2\tan x$ 与 $y=2\sin x$ 在该区间内的下包络线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数